Como você avalia #sec 15 #?
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Valor exato:
Explicação:
Essa é uma daquelas perguntas raras que você pode avaliar exatamente usando as fórmulas de soma e diferença.
Primeiro, porém, vamos definir #sectheta#. Pelas identidades recíprocas #sectheta = 1/costheta#
#sec15#
#=1/cos15#
Agora, #15^@# pode ser escrito como #60^@ - 45^@#
Pela identidade de soma e diferença #cos(alpha - theta) = cosalphacostheta + sinalphasintheta#
Portanto, podemos afirmar o seguinte:
#1/cos15 = 1/cos(60 - 45)#
Expansão:
#=1/(cos60cos45 + sin60sin45)#
#=1/(1/2 xx 1/sqrt(2) + sqrt(3)/2 xx 1/sqrt(2))#
#= 1/((1/(2sqrt(2)) + sqrt(3)/(2sqrt(2)))#
#= 1/((1 + sqrt(3))/(2sqrt2))#
#= (2sqrt(2))/(1 + sqrt(3))#
Racionalizando o denominador:
#= (2sqrt(2))/(1 + sqrt(3)) xx (1 - sqrt(3))/(1 - sqrt(3))#
#=(2sqrt(2) - 2sqrt(6))/-2#
#=(2(sqrt(2) - sqrt(6)))/-2#
#= sqrt6 - sqrt(2)#
Portanto, #sec15 = sqrt(6) - sqrt(2)#
Espero que isso ajude!