Como você converte # r = 4tan (θ) sec (θ) # em forma cartesiana?

Apenas para lembrar o básico de coordenadas polares:

Coordenadas polares

Sabia que #sec theta= 1/cos theta#, a expressão em coordenadas polares pode ser reescrita:
#r=4*tan theta(1/cos theta)#

Em direção à conversão, sabemos que:
#r=sqrt(x^2+y^2)#
#theta=arc tan(y/x)#
Então #tan theta=tan (arc tan (y/x))=y/x#

Para concluir a conversão, precisamos apenas determinar #cos theta# em função de x e y:
#tan theta = y/x# => #sin theta/cos theta =y/x# => #sqrt (1-cos^2 theta)/cos theta =y/x# => #(1-cos^2 theta)/cos^2 theta=y^2/x^2# => #x^2-x^2*cos^2 theta = y^2*cos^2 theta# => #cos^2 theta*(x^2+y^2)=x^2# => #cos theta =x/sqrt(x^2+y^2)#

Substituindo #r#, #tan theta# e #cos theta#, pelas funções correspondentes em xey, a expressão original se torna:
#sqrt(x^2+y^2)=4.(y/x)(1/(x/sqrt(x^2+y^2)))# => #cancel(sqrt(x^2+y^2))*(x/cancel(sqrt(x^2+y^2)))=4.(y/x)# => #x^2=4y#

Testando o resultado (ou reconvertendo-o em coordenadas polares):
#x^2=4y# => #(r*cos theta)^2=4*r*sin theta# => #r ^cancel(2)*cos^2 theta=4*cancel(r)*sin theta# => #r=4(sin theta/cos theta)(1/(cos theta))# [Esta expressão é equivalente à expressão original. Portanto, a expressão resultante (em x e y) está correta.]