Como você converte r = 4tan (θ) sec (θ) em forma cartesiana?
Responda:
y=x^2/4
Explicação:
Apenas para lembrar o básico de coordenadas polares:
Sabia que sec theta= 1/cos theta, a expressão em coordenadas polares pode ser reescrita:
r=4*tan theta(1/cos theta)
Em direção à conversão, sabemos que:
r=sqrt(x^2+y^2)
theta=arc tan(y/x)
Então tan theta=tan (arc tan (y/x))=y/x
Para concluir a conversão, precisamos apenas determinar cos theta em função de x e y:
tan theta = y/x => sin theta/cos theta =y/x => sqrt (1-cos^2 theta)/cos theta =y/x => (1-cos^2 theta)/cos^2 theta=y^2/x^2 => x^2-x^2*cos^2 theta = y^2*cos^2 theta => cos^2 theta*(x^2+y^2)=x^2 => cos theta =x/sqrt(x^2+y^2)
Substituindo r, tan theta e cos theta, pelas funções correspondentes em xey, a expressão original se torna:
sqrt(x^2+y^2)=4.(y/x)(1/(x/sqrt(x^2+y^2))) => cancel(sqrt(x^2+y^2))*(x/cancel(sqrt(x^2+y^2)))=4.(y/x) => x^2=4y
Testando o resultado (ou reconvertendo-o em coordenadas polares):
x^2=4y => (r*cos theta)^2=4*r*sin theta => r ^cancel(2)*cos^2 theta=4*cancel(r)*sin theta => r=4(sin theta/cos theta)(1/(cos theta)) [Esta expressão é equivalente à expressão original. Portanto, a expressão resultante (em x e y) está correta.]