Como você determina o número de raízes complexas de um polinômio de grau n?

Teorema Fundamental da Álgebra

O Teorema Fundamental da Álgebra (FTOA) nos diz que qualquer polinômio não constante em uma variável com coeficientes Complexos (possivelmente Reais) tem zero em #CC# (o conjunto de números complexos).

Um corolário direto disso (muitas vezes declarado como parte da FTOA) é que um polinômio de grau #n# com coeficientes complexos (possivelmente reais) tem exatamente #n# Zeros complexos (possivelmente reais) contando a multiplicidade.

Portanto, uma resposta simples para sua pergunta seria que um polinômio de grau #n# tem exatamente #n# Zeros complexos contando multiplicidade.

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Quantos desses #n# zeros são reais e quantos não são reais?

Se o polinômio tiver coeficientes reais, quaisquer zeros complexos ocorrerão em pares conjugados complexos. Portanto, o número de zeros não reais será par.

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A Regra de Sinais de Descartes

Se os coeficientes forem Reais, podemos descobrir mais algumas coisas sobre os zeros observando os sinais dos coeficientes.

If #f(x)# é escrito em forma padrão com poderes decrescentes de #x# depois observe o padrão de sinais de coeficientes. O número de alterações fornece o número máximo possível de zeros reais positivos. Se houver menos zeros reais positivos, será menor em número par.

Para determinar o número possível de zeros reais negativos, observe os sinais dos coeficientes de #f(-x)#. É o mesmo que reverter o sinal em termos de grau ímpar.

Por exemplo, considere:

#f(x) = x^4+x^3-x^2+x-2#

Os sinais dos coeficientes estão no padrão #+ + - + -#

Já que existem #3# mudanças de sinal, existem #3# or #1# zeros reais positivos.

#f(-x) = x^4-x^3-x^2-x-2#

tem coeficientes com sinais #+ - - - -#

Uma vez que existe #1# mudança de sinal, #f(x)# tem exatamente #1# zero real negativo.

Como o número total de zeros de #f(x)# is #4#, isso significa que tem #0# or #2# zeros não complexos reais.

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Discriminantes

Discriminantes são outra ferramenta útil, que descreverei em outra resposta.