Como você encontra a antiderivada de #cos (x) / (1-cos (x)) #?

#I=intcos(x)/(1-cos(x))dx#

Reescrevendo a integral de uma forma mais simples:

#I=int((cos(x)-1)+1)/(1-cos(x))dx#

#I=int(-(1-cos(x)))/(1-cos(x))dx+intdx/(1-cos(x))#

#I=-intdx+intdx/(1-cos(x))#

#I=-x+intdx/(1-cos(x))#

Para a integral restante, usaremos a substituição de meio ângulo tangente que usa #t=tan(x/2)#. A função #cos(x)# pode ser expresso em termos de #tan(x/2)# como se segue:

Isto é, #cos(x)=(1-tan^2(x/2))/(1+tan^2(x/2))=(1-tan^2(x/2))/sec^2(x/2)#.

Observe também que a substituição #t=tan(x/2)# implica #dt=1/2sec^2(x/2)dx#.

A aplicação disso na integral fornece:

#I=-x+intdx/((1-(1-tan^2(x/2))/sec^2(x/2)))#

#I=-x+int(sec^2(x/2)dx)/(sec^2(x/2)-(1-tan^2(x/2))#

Reescrevendo #sec^2(x/2)# as #tan^2(x/2)+1#:

#I=-x+int(sec^2(x/2)dx)/(2tan^2(x/2))#

#I=-x+2int(1/2sec^2(x/2)dx)/(2tan^2(x/2))#

Substituindo:

#I=-x+2intdt/t^2#

#I=-x-2/t+C#

#I=-x-2/tan(x/2)+C#

#I=-x-2cot(x/2)+C#