Como você encontra a antiderivada de $cos (x) / (1-cos (x))$ ?

Responda:

$-x-2cot(x/2)+C$

Explicação:

$I=intcos(x)/(1-cos(x))dx$

Reescrevendo a integral de uma forma mais simples:

$I=int((cos(x)-1)+1)/(1-cos(x))dx$

$I=int(-(1-cos(x)))/(1-cos(x))dx+intdx/(1-cos(x))$

$I=-intdx+intdx/(1-cos(x))$

$I=-x+intdx/(1-cos(x))$

Para a integral restante, usaremos a substituição de meio ângulo tangente que usa $t=tan(x/2)$ . A função $cos(x)$ pode ser expresso em termos de $tan(x/2)$ como se segue:

Wikimedia

Isto é, $cos(x)=(1-tan^2(x/2))/(1+tan^2(x/2))=(1-tan^2(x/2))/sec^2(x/2)$ .

Observe também que a substituição $t=tan(x/2)$ implica $dt=1/2sec^2(x/2)dx$ .

A aplicação disso na integral fornece:

$I=-x+intdx/((1-(1-tan^2(x/2))/sec^2(x/2)))$

$I=-x+int(sec^2(x/2)dx)/(sec^2(x/2)-(1-tan^2(x/2))$

Reescrevendo $sec^2(x/2)$ as $tan^2(x/2)+1$ :

$I=-x+int(sec^2(x/2)dx)/(2tan^2(x/2))$

$I=-x+2int(1/2sec^2(x/2)dx)/(2tan^2(x/2))$

Substituindo:

$I=-x+2intdt/t^2$

$I=-x-2/t+C$

$I=-x-2/tan(x/2)+C$

$I=-x-2cot(x/2)+C$

Como você encontra a antiderivada de cos (x) / (1-cos (x)) cos (x) / (1-cos (x)) ?

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Como você encontra a antiderivada de $cos (x) / (1-cos (x))$ ?