Como você encontra a área da região que fica dentro das curvas # r = 1 + cos (teta) # e # r = 1-cos (teta) #?

Primeiro vamos "ver" nossa área:

Basicamente, você deseja que a área dos dois loops seja delimitada pelas duas curvas (verticalmente ao longo do eixo vertical).

Em geral, a área na forma polar é:
#1/2int_(theta_1)^(theta_2)r^2d(theta)# (consulte qualquer livro de matemática sobre cálculo / geometria analítica).

Neste caso, vamos começar com o loop superior; Você tem:

#0->pi/2# para a linha vermelha + #pi/2->pi# para a linha azul
área sombreada vermelha + área sombreada azul

Area1 = #1/2int_0^(pi/2)(1-cos(theta))^2d(theta)+1/2int_(pi/2)^(pi)(1+cos(theta))^2d(theta)#
Então você obtém:

Espero que ajude (verifique minhas contas)