Como você encontra a derivada 50th de # y = cos2x #?

Um quinquagésimo derivado! Acho que é melhor começarmos a ir ...

Derivado de Zeroth: #y = cos(2x) #
Primeira derivada: #y' = -2sin(2x) #
Segunda derivada #y'' = -4 cos(2x) #

Espere ... este segundo derivado é familiar. É -4 vezes a função original! Isso significa que, se diferenciarmos mais duas vezes, apenas multiplicaremos por -4, ou seja, já sabemos que
#y^((4)) = 16 cos(2x)#

Esse padrão facilita muito isso! A cada dois derivativos nos dá um -4, o que significa
#y^((2n)) = (-4)^n cos(2x) #

At #n=25#,
#y^((50)) = (-4)^25 cos(2x) #
Como o 25 é ímpar, isso é negativo. Usando #4 = 2^2#, isso nos mostra a resposta final
#y^((50)) = -2^(50) cos(2x), #
nossa resposta final.