Como você encontra a derivada de 1 / (1- x) ?
Responda:
(dy)/(dx)= sum_(r=0)^oo rx^(r-1) , |x|<1
Explicação:
Eu queria fornecer outro meio alternativo de pensar sobre isso:
De alguma forma, devemos encontrar, 1/(1-x) de alguma outra maneira:
Podemos considerar a expansão binomial:
(1+x)^n = 1 + nx + (n(n-1)x^2)/(2!) + (n(n-1)(n-2)x^3)/(3!) + ...
para |x|<1
=>
(1-x)^n = 1 -nx + (n(n-1)x^2)/(2!) - (n(n-1)(n-2)x^3)/(3!) + ...
Deixando n=-1 :
=> (1-x)^(-1) = 1 + x + x^2 + x^3 + ...
para |x| < 1
Portanto, nosso problema se torna:
d/(dx) (1 + x + x^2 + x^3 + ...) -= d/(dx) (sum_(r=0) ^oo x ^r )
=>
1+ 2x + 3x^2 + 4x^3 + ... = sum_(r=0)^oo rx^(r-1)
(dy)/(dx)= sum_(r=0)^oo rx^(r-1) , |x|<1
Também podemos verificar isso através da entrada 1/(1-x)^2 para a expansão binomial!