Como você encontra a integral de `Cos (2x) Sin (x) dx`?

Use a identidade `cos(2x) = 1 - 2sin^2x`.

`=int(1 - 2sin^2x)sinxdx`

Multiplique.

`=int(sinx - 2sin^3x)dx`

Separe usando `int(a + b)dx = intadx + intbdx`

`=int(sinx)dx - int(2sin^3x)dx`

A antiderivada de `sinx` is `-cosx`. Use a propriedade de integrais que `int(Cf(x))dx = Cintf(x)` onde `C` é uma constante. Observe que `sin^3x` pode ser fatorado como `sin^2x(sinx)`, que por sua vez pode ser escrito como `(1- cos^2x)(sinx)` pela identidade `sin^2x + cos^2x = 1`.

`=-cosx - 2int(1 - cos^2x)sinxdx`

Deixei `u = cosx`. em seguida `du = -sinxdx -> dx = -(du)/sinx`.

`=-cosx - 2int(1 - u^2)sinx * -(du)/sinx`

Os senos sob a integral se cancelam.

`=-cosx - 2int(1 - u^2) * -(du)`

Extrair o negativo `1`.

`=-cosx + 2int(1 - u^2)du`

Separe as integrais.

`=-cosx + 2int1du - 2intu^2du`

Integrar usando a regra `int(x^n)dx = x^(n + 1)/(n + 1) + C`, Onde `C` é uma constante.

`=-cosx + 2u - 2(1/3u^(3)) + C`

Substituir `u = cosx` para definir a função em relação a `x`.

`=-cosx + 2cosx - 2/3cos^3x + C`

Por fim, combine termos semelhantes.

`=cosx - 2/3cos^3x + C`

Espero que isso ajude!