Como você encontra a integral de # Cos (2x) Sin (x) dx #?

Use a identidade #cos(2x) = 1 - 2sin^2x#.

#=int(1 - 2sin^2x)sinxdx#

Multiplique.

#=int(sinx - 2sin^3x)dx#

Separe usando #int(a + b)dx = intadx + intbdx#

#=int(sinx)dx - int(2sin^3x)dx#

A antiderivada de #sinx# is #-cosx#. Use a propriedade de integrais que #int(Cf(x))dx = Cintf(x)# onde #C# é uma constante. Observe que #sin^3x# pode ser fatorado como #sin^2x(sinx)#, que por sua vez pode ser escrito como #(1- cos^2x)(sinx)# pela identidade #sin^2x + cos^2x = 1#.

#=-cosx - 2int(1 - cos^2x)sinxdx#

Deixei #u = cosx#. em seguida #du = -sinxdx -> dx = -(du)/sinx#.

#=-cosx - 2int(1 - u^2)sinx * -(du)/sinx#

Os senos sob a integral se cancelam.

#=-cosx - 2int(1 - u^2) * -(du)#

Extrair o negativo #1#.

#=-cosx + 2int(1 - u^2)du#

Separe as integrais.

#=-cosx + 2int1du - 2intu^2du#

Integrar usando a regra #int(x^n)dx = x^(n + 1)/(n + 1) + C#, Onde #C# é uma constante.

#=-cosx + 2u - 2(1/3u^(3)) + C#

Substituir #u = cosx# para definir a função em relação a #x#.

#=-cosx + 2cosx - 2/3cos^3x + C#

Por fim, combine termos semelhantes.

#=cosx - 2/3cos^3x + C#

Espero que isso ajude!