Como você encontra a série Maclaurin de #f (x) = e ^ (- 2x) #?

A série Maclaurin de #f_{(x)}=e^{-2x}# is

#f_{(x)}=1+(-2x)+(-2x)^2/{2!}+(-2x)^3/{3!}+ . . .#

Primeiro método de solução: a série Maclaurin de #y=e^z# is

#y=1+z+z^2/{2!}+z^3/{3!}+z^4/{4!}+ . . .#

Deixei #z=-2x#.

Então #quad f_{(x)}=e^{-2x}=e^zquad# e #f_{(x)}# tem a mesma série Maclaurin que a acima, exceto que definimos #z=-2x# e pegue

#f_{(x)}=1+(-2x)+(-2x)^2/{2!}+(-2x)^3/{3!}+ . . .#

Eu usei a conhecida série Maclaurin para #y=e^z# para obter a resposta. Se esta série não tiver sido discutida em aula, você deve usar a definição geral de uma série Maclaurin para obter a resposta.

A série Maclaurin de #f_{(x)}# is

# f_{(x)}= f_((x=0))## quad +{f'_((x=0))}/{1!}x#

#quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad +{f''_((x=0))}/{2!]x^2#

#quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad+ {f'''_((x=0))}/{3!}x^3+. . . #

^ Não foi possível colocar todos os termos na mesma linha, desculpe pela formatação incorreta.

De qualquer forma, o primeiro termo é #f_{(x=0)}#. Aqui, #quad f_{(x=0)}=e^{-2(0)}=1#.

O segundo termo é #{f'_{(x=0)}}/{1!}x={-2e^{-2(0)}}/1x=-2x#

O terceiro termo é #{f''_{(x=0)}}/{2!}x^2={(-2)^2e^{-2(0)}}/{2!}x^2={(-2x)^2}/{2!}#

Estes são os mesmos termos da série Maclaurin que escrevi acima.

Ao observar um padrão, o #n^{th}# termo da série é #(-2x)^n/{n!}#

Usando um sinal de adição, a série Maclaurin de #f_{(x)}# pode ser escrito como

#f_{(x)}=Sigma_{n=0}^{n=infty} [(-2x)^n/{n!} ]#