Como você encontra a série Maclaurin de $f (x) = e^{- 2 x}$ $f (x) = e ^ (- 2x)$ ?

A série Maclaurin de $f_{(x)} = e^{- 2 x}$ $f_{(x)}=e^{-2x}$ is

$f_{(x)} = 1 + (- 2 x) + \frac{{(- 2 x)}^{2}}{2!} + \frac{{(- 2 x)}^{3}}{3!} + . . .$ $f_{(x)}=1+(-2x)+(-2x)^2/{2!}+(-2x)^3/{3!}+ . . .$

Primeiro método de solução: a série Maclaurin de $y = e^{z}$ $y=e^z$ is

$y = 1 + z + \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{4}}{4!} + . . .$ $y=1+z+z^2/{2!}+z^3/{3!}+z^4/{4!}+ . . .$

Deixei $z = - 2 x$ $z=-2x$ .

Então $quad f_{(x)}=e^{-2x}=e^zquad$ e $f_{(x)}$ tem a mesma série Maclaurin que a acima, exceto que definimos $z=-2x$ e pegue

$f_{(x)}=1+(-2x)+(-2x)^2/{2!}+(-2x)^3/{3!}+ . . .$

Eu usei a conhecida série Maclaurin para $y=e^z$ para obter a resposta. Se esta série não tiver sido discutida em aula, você deve usar a definição geral de uma série Maclaurin para obter a resposta.

A série Maclaurin de $f_{(x)}$ is

$f_{(x)}= f_((x=0))$ $quad +{f'_((x=0))}/{1!}x$

$quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad +{f''_((x=0))}/{2!]x^2$

$quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad+ {f'''_((x=0))}/{3!}x^3+. . .$

^ Não foi possível colocar todos os termos na mesma linha, desculpe pela formatação incorreta.

De qualquer forma, o primeiro termo é $f_{(x=0)}$ . Aqui, $quad f_{(x=0)}=e^{-2(0)}=1$ .

O segundo termo é ${f'_{(x=0)}}/{1!}x={-2e^{-2(0)}}/1x=-2x$

O terceiro termo é ${f''_{(x=0)}}/{2!}x^2={(-2)^2e^{-2(0)}}/{2!}x^2={(-2x)^2}/{2!}$

Estes são os mesmos termos da série Maclaurin que escrevi acima.

Ao observar um padrão, o $n^{th}$ termo da série é $(-2x)^n/{n!}$

Usando um sinal de adição, a série Maclaurin de $f_{(x)}$ pode ser escrito como

$f_{(x)}=Sigma_{n=0}^{n=infty} [(-2x)^n/{n!} ]$

Como você encontra a série Maclaurin de f (x) = e ^ (- 2x) f(x)=e−2xf (x) = e ^ (- 2x) ?

Como você encontra a série Maclaurin de $f (x) = e^{- 2 x}$ $f (x) = e ^ (- 2x)$ ?