Como você encontra a série Maclaurin para $sin (x^{2})$ $Sin (x ^ 2)$ ?

$x^2 - x^6/(3!) + x^10/(5!) - ....$

$sum_(n=0 )^oo x^(4n+2)/((2n+1)!) * (-1)^n$

Primeiro, devemos encontrar a série para $sin(x)$

deixar $f(x) = sin(x)$
$f(0) = sin(0) = 0$
$f'(0) = cos(0) = 1$
$f''(0) = -sin(0) = 0$
$f'''(0) = -cos(0) = -1$

Agora podemos aplicar à série macluarin;

$f(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)x^2)/(2!) + (f'''(0)x^3)/(3!) + ...$

Conseqüentemente $sin(x) = x - x^3/(3!) + x^5/(5!) - ...$

Portanto, para $sin(x^2)$ nós substituímos cada $x$ by $x^2$ na série para $sin(x)$

$sin(x^2) = (x^2) - (x^2)^3/(3!) + (x^2)^5/(5!) - ...$

$= x^2 - x^6/(3!) + x^10/(5!) - ....$

O que podemos escrever na notação de soma sigma como;

$sum_(n=0 )^oo x^(4n+2)/((2n+1)!) * (-1)^n$

Como você encontra a série Maclaurin para Sin (x ^ 2) sin(x2)Sin (x ^ 2) ?