Como você encontra as equações do plano tangente à superfície # x ^ 2 + 2z ^ 2 = y ^ 2 # a # (1, 3, -2) #?

Primeiro, reorganizamos a equação da superfície na forma # f(x,y,z)=0#

# x^2+2z^2 = y^2 #
# :. x^2 - y^2 + 2z^2 = 0 #

E assim temos nossa função:

# f(x,y,z) = x^2 - y^2 + 2z^2 #

Para encontrar o normal em qualquer ponto específico do espaço vetorial, usamos o operador Del, ou gradient:

# grad f(x,y,z) = (partial f)/(partial x) hat(i) + (partial f)/(partial y) hat(j) + (partial f)/(partial z) hat(k) #

lembre-se, ao diferenciar parcialmente, que diferenciamos a variável em questão enquanto tratamos as outras variáveis ​​como constantes. E entao:

# grad f = ((partial)/(partial x) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(i) + #
# " " ((partial)/(partial y) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(j) + #
# " " ((partial)/(partial z) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(k) #
# " "= 2xhat(i) - 2yhat(j) + 4zhat(k) #

Então, para o ponto particular #(1,3,-2)# o vetor normal para a superfície é dado por:

# grad f(1,3,-2) = 2hat(i) -6hat(j) -8hat(k) #

Então o plano tangente para a superfície # x^2+2z^2 = y^2 # tem esse vetor normal e também passa pelo ponto #(1,3,-2)#. Portanto, ele terá uma equação vetorial da forma:

# vec r * vec n = vec a * vec n #

onde #vec r=((x),(y),(z))#; #vec n=( (2), (-6), (-8) )#, é o vetor normal e #a# é qualquer ponto do avião

Portanto, a equação do plano tangente é:

# ((x),(y),(z)) * ( (2), (-6),(-8) ) = ((1),(3),(-2)) * ( (2), (-6),(-8) ) #
# :. (x)(2) + (y)(-6) + (z)(-2) = (1)(2) + (3)(-6) + (-2)(-8) #
# :. 2x-6y-8z = 2-18+16 #
# :. 2x-6y-8z = 0 #
# :. x-3y-4z = 0 #

Podemos confirmar isso graficamente: Aqui está a superfície com o vetor normal:

e aqui está a superfície com o plano tangente e o vetor normal: