Como você encontra o modelo exponencial $y = a e^{b x}$ $y = ae ^ (bx)$ que se encaixa nos dois pontos (0, 8), (1, 3)?

É bom que nos seja dado o ponto, $(0, 8),$ $(0,8),$ porque nos permite encontrar o valor de $a$ $a$ antes de encontrarmos o valor de b:

Substitua o ponto $(0, 8)$ $(0,8)$ para dentro $y = a e^{b x}$ $y=ae^(bx)$ :

$8 = a e^{b (0)}$ $8=ae^(b(0))$

Qualquer número elevado à potência zero é 1:

$8 = a (1)$ $8 = a(1)$

$a = 8$ $a = 8$

Use o ponto, $(1, 3),$ $(1,3),$ para encontrar o valor de b:

$3 = 8 e^{b (1)}$ $3 = 8e^(b(1))$

$e^{b} = \frac{3}{8}$ $e^b= 3/8$

$b = ln (\frac{3}{8})$ $b = ln(3/8)$

A equação final é:

$y = 8 e^{ln (\frac{3}{8}) x}$ $y = 8e^(ln(3/8)x)$

Freqüentemente, o mesmo problema é perguntado onde a coordenada x de um dos pontos não é 0. Quando isso acontece, você deve encontrar o valor de $b$ $b$ antes de encontrar o valor de $a$ $a$ ; aqui está como você faz isso:

Dado, dois pontos, $(x_{1}, y_{1})$ $(x_1,y_1)$ e $(x_{2}, y_{2})$ $(x_2,y_2)$ e $y = a e^{b x}$ $y= ae^(bx)$

Escreva duas equações substituindo cada ponto na equação fornecida:

$y_{1} = a e_{1}^{b x_{1}} [1]$ $y_1=ae^(bx_1)" [1]"$

$y_{2} = a e_{2}^{b x_{2}} [2]$ $y_2=ae^(bx_2)" [2]"$

Divida a equação [2] pela equação [1]:

$\frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{a e_{2}^{b x_{2}}}{a e_{1}^{b x_{1}}}$ $y_2/y_1=(ae^(bx_2))/(ae^(bx_1))$

Por favor, observe que $a$ $a$ é eliminado porque é cancelado por divisão:

$y_2/y_1=(cancel(a)e^(bx_2))/(cancel(a)e^(bx_1)) = (e^(bx_2))/(e^(bx_1))$

Quando você divide dois números com a mesma base, é o mesmo que subtrair os expoentes:

$y_2/y_1 = e^(bx_2-bx_1)$

Inverta a equação e use o logaritmo natural dos dois lados:

$ln(e^(bx_2-bx_1))= ln(y_2/y_1)$

Porque $ln$ e $e$ são inversas, apenas o expoente permanece à esquerda:

$bx_2-bx_1= ln(y_2/y_1)$

Fatore $b$ :

$b(x_2-x_1)= ln(y_2/y_1)$

Divida os dois lados por $(x_2-x_1)$ :

$b= ln(y_2/y_1)/(x_2-x_1)$

Agora que você tem o valor de $b$ , você pode substituir seu valor na equação [1] ou na equação [2] para resolver o valor de $a$ .

Como você encontra o modelo exponencial y = ae ^ (bx) y=aebxy = ae ^ (bx) que se encaixa nos dois pontos (0, 8), (1, 3)?

Como você encontra o modelo exponencial $y = a e^{b x}$ $y = ae ^ (bx)$ que se encaixa nos dois pontos (0, 8), (1, 3)?