Como você encontra o vetor normal da unidade principal na curva no valor especificado do parâmetro $r (t) = cos (3t) i + 2 sin (3t) j + k$ onde t é pi?

Este é realmente um problema de cálculo, e o vetor normal da unidade principal não é o mesmo que um vetor normal para o plano em que a curva se encontra.

O vetor de velocidade é $vec{v}(t)=vec{r}'(t)=-3sin(3t)hat{i}+6cos(3t)hat{j}$ e seu comprimento (a velocidade) é $||vec{v}(t)||=sqrt{9sin^{2}(3t)+36cos^{2}(3t)}$ .

Isso significa que o vetor tangente unitário é $vec{T}(t)=frac{vec{v}(t)}{||vec{v}(t)||}=frac{-3sin(3t)hat{i}+6cos(3t)hat{j}}{sqrt{9sin^{2}(3t)+36cos^{2}(3t)}}$ . No $t=pi$ , isso se torna $vec{T}(pi)=-hat{j}$ .

A curva está no plano $z=1$ , então o vetor normal da unidade principal $vec{N}(pi)$ estará no mesmo plano (e no mesmo plano que $vec{T}(pi)$ ), será perpendicular a $vec{N}(pi)$ , e apontará diretamente para o centro da curvatura, que neste caso é o centro $(0,0,1)$ da elipse que a curva está traçando no plano $z=1$ . Observe também que $r(pi)=-hat{i}+hat{k}$ (a curva está no ponto $(-1,0,1)$ at $t=pi$ ).

Portanto, o vetor normal da unidade principal será $vec{N}(pi)=hat{i}$ .

Aqui está uma foto da situação. O positivo $x$ -axis está vindo em sua direção e o positivo $y$ O eixo está indo para a direita. O ponto $(-1,0,1)$ é mostrado junto com o vetor normal da unidade $vec{N}(pi)=hat{i}$ . Novamente, não é normal para o avião. É normal para a curva e fica no mesmo plano que o "círculo osculante" ou "círculo de melhor ajuste" no ponto especificado (não mostrado), que fica no plano $z=1$ .

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Como você encontra o vetor normal da unidade principal na curva no valor especificado do parâmetro r (t) = cos (3t) i + 2 sin (3t) j + k r (t) = cos (3t) i + 2 sin (3t) j + k onde t é pi?

Como você encontra o vetor normal da unidade principal na curva no valor especificado do parâmetro $r (t) = cos (3t) i + 2 sin (3t) j + k$ onde t é pi?