Como você encontra os termos diferentes de zero do 1st 4 na expansão da série Taylor sobre x = 0 para #f (x) = sqrt (1 + x) #?

Para uma função geral #f(x)#, podemos fazer uma expansão da série Taylor sobre #x=0#, (chamada Maclaurin Series), fazendo o seguinte:

#f(x) = f(0) + x*f'(0) + (x^2*f''(0))/(2!) + (x^3*f^((3))(0))/(3!) + ...#

Isso pode ser escrito de forma mais concisa com a notação de somatória, conforme

#f(x) = sum_(n=0)^(oo)(x^n f^((n))(0))/(n!)#

Nesse caso, temos #f(x)=sqrt(1+x)#
Observe que
#f'(x)=1/(2sqrt(1+x))#

#f''(x)=-1/(4(1+x)^(3/2))#

#f^((3))(x)=3/(8(1+x)^(5/2))#

Isto dá:

#f(0) = 1#
#f'(0)=1/2#
#f''(0)=-1/4#
#f^((3))(0)=3/8#

Portanto, os primeiros termos não zero zero da expansão de Taylor sobre #x=0# para #f(x)=sqrt(1+x)# estão

#f(x)~~1 + x/2-x^2/(8)+(3x^3)/(48)#

PS: Espero que não haja erros. 🙂