Como você encontra os valores exatos de cos (5pi / 12) usando a fórmula de meio ângulo?

Responda:

$cos (\frac{5 π}{12}) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ $cos((5pi)/12) = (sqrt(2-sqrt(3)))/2$

Explicação:

Pela fórmula do meio ângulo:
$XXXX$ $color(white)("XXXX")$ $cos (\frac{θ}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + cos (θ)}{2}}$ $cos(theta/2) = +-sqrt((1+cos(theta))/2)$

If $\frac{θ}{2} = \frac{5 π}{12}$ $theta/2 = (5pi)/12$
$XXXX$ $color(white)("XXXX")$ então $θ = \frac{5 π}{6}$ $theta = (5pi)/6$

Observe que $\frac{5 π}{6}$ $(5pi)/6$ é um ângulo padrão no quadrante 2 com um ângulo de referência de $\frac{π}{6}$ $pi/6$

so $cos (\frac{5 π}{6}) = - cos (\frac{π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $cos((5pi)/6) = -cos(pi/6) = -sqrt(3)/2$

portanto
$XXXX cos (\frac{5 π}{12}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$ $color(white)("XXXX")cos((5pi)/12) = +- sqrt((1-sqrt(3)/2)/2)$

$XXXXXXXXXXX = \pm \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}$ $color(white)("XXXXXXXXXXX")=+-sqrt(((2-sqrt(3))/2)/2)$

$XXXXXXXXXXX = \pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ $color(white)("XXXXXXXXXXX")=+-sqrt((2-sqrt(3))/4)$

$XXXXXXXXXXX = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ $color(white)("XXXXXXXXXXX")=+-sqrt(2-sqrt(3))/2$

Desde $\frac{5 π}{12} < \frac{π}{2}$ $(5pi)/12 < pi/2$
$XXXX$ $color(white)("XXXX")$ $\frac{5 π}{12}$ $(5pi)/12$ está no quadrante 1
$XXXX$ $color(white)("XXXX")$ $\to cos (\frac{5 π}{12})$ $rarr cos((5pi)/12)$ é positivo
$XXXX$ $color(white)("XXXX")$ $XXXX$ $color(white)("XXXX")$ $XXXX$ $color(white)("XXXX")$ (a solução negativa é estranha)