Como você encontra todas as soluções de equações trigonométricas?

Como descrição geral, existem etapas 3. Essas etapas podem ser muito desafiadoras ou até impossíveis, dependendo da equação.

Etapa 1: Encontre os valores trigonométricos necessários para resolver a equação.
Etapa 2: encontre todos os ângulos que nos fornecem esses valores da etapa 1.
Etapa 3: encontre os valores do desconhecido que resultarão em ângulos obtidos na etapa 2.

Exemplo (longo)
Resolver: #2sin(4x- pi/3)=1#

Etapa 1: A única função trigonométrica nesta equação é #sin#.
Às vezes, é útil tornar as coisas mais simples, substituindo assim:
substituir #sin(4x- pi/3)# pela única letra #S#. Agora precisamos encontrar #S# fazer #2S=1#. Simples! Faço #S=1/2#
Portanto, uma solução precisará fazer #sin(4x- pi/3)=1/2#

Etapa 2: O 'ângulo' nesta equação é #(4x- pi/3)#. Por enquanto, vamos chamar assim #theta#. Nós precisamos #sin theta = 1/2#
Existem infinitamente muitos #theta#, precisamos encontrar todos eles.

Cada #theta# que faz #sin theta = 1/2# é coterminal com #pi/6# ou com #(5 pi)/6#. (Passe por um período do gráfico ou uma vez ao redor do círculo unitário.)

So #theta# Qual, lembre-se, é a nossa maneira curta de escrever #4x- pi/3# deve ter a forma: #theta = pi/6+2 pi k# para algum número inteiro #k# ou da forma #theta = (5 pi)/6 +2 pi k# para algum número inteiro #k#.

-
substituindo #theta# no último passo da etapa 2, vemos que precisamos de um dos seguintes: #4x- pi/3 = pi/6+2 pi k# para inteiro #k#

or #4x- pi/3 = (5 pi)/6+2 pi k# para inteiro #k#.

Adicionando # pi/3# na forma #(2 pi)/6# para ambos os lados dessas equações nos dá:
#4x = (3 pi)/6+2 pi k = pi/2+2 pi k# para inteiro #k# or
#4x = (7 pi)/6+2 pi k# para inteiro #k#.

Dividindo por #4# (multiplicando por #1/4#) nos leva a:

#x= pi/8+(2pi k)/4# or
#x=(7 pi)/24+(2 pi k)/4# para inteiro #k#.

Podemos escrever isso de forma mais simples:
#x= pi/8+pi/2 k# or
#x=(7 pi)/24+pi/2 k# para inteiro #k#.

Nota final O número inteiro #k# pode ser um número inteiro positivo ou negativo ou 0. E se #k# é negativo, na verdade estamos subtraindo da solução básica.