Como você encontra todos os extremos relativos da função $f (x) = - x^{3} - 6 x^{2} - 9 x - 2$ $f (x) = -x ^ 3 -6x ^ 2-9x-2$ ?

Responda:

Use o primeiro teste derivado e verifique se há alterações nos sinais de $f^'$ .

Explicação:

Para uma determinada função, extremos relativosou máximos e mínimos locais, pode ser determinado usando o primeiro teste derivado, que permite verificar se há alterações de sinal de $f^'$ em torno da função Pontos críticos.

Para uma ponto crítico ser extremos locais, a função deve ir de aumentando, Isto é, positivo $f^'$ , Para decrescente, Isto é, negativo $f^'$ , ou vice-versa, por esse ponto.

Então, comece determinando a primeira derivada de $f$

$f^' = -3x^2 - 12x - 9$

Para determinar os pontos críticos da função, faça $f^' = 0$ e resolver para $x$

$f^' = 0$

$f^' = -3x^2 - 12x - 9 = 0$

Isso é equivalente a

$-3(x^2 + 4x + 3) = 0$ ou

$x^2 + 4x + 3 = 0$

$x_(1,2) = (-4 +- sqrt(4^2 - 4 * 1 * 3))/2 = {(x_1 = -3), (x_2 = -1) :}$

Como não há restrições de domínio para sua função, as duas soluções serão Pontos críticos.

Agora verifique se a primeira derivada muda de sinal em torno desses pontos. Como você está lidando com dois pontos críticos, precisará analisar Intervalos 3.

Selecione um valor para alcançar esses intervalos e observe o sinal de $f^'$

$(-oo,-3)$

$f^'(-4) = -3* (-4 + 1) * (-4+3)$

$f^'(-4) = -3 * (-3) * (-1) = -9 -> color(red)("negative")$

$(-3,-1)$

$f^'(0) = -3 * (-2+1) * (-2+3)$

$f^'(0) = -3 * (-1) * (+1) = 3 -> color(green)("positive")$

$(-1, oo)$

$f^'(0) = -3 * (0+1) * (0 + 3)$

$f^'(0) = -3 * 1 * 3 = -9 -> color(red)("negative")$

A primeira derivada muda de sinal duas vezes. Passa de ser negativo ser positivo por aí $x=-3$ , o que significa que esse ponto crítico é um mínimo local.

Por outro lado, passa de ser positivo ser negativo em torno do ponto $x=-1$ , o que significa que esse ponto crítico é um máximo local.

Isso é equivalente a ter uma função que vai de decrescente para aumentando (pense em um vale) em torno do ponto $x=-3$ , e de aumentando para decrescente (pense em uma colina) em torno do ponto $x=-1$ .

Para obter os pontos reais nos quais a função possui o mínimo e o máximo locais, avalie $f$ nos pontos críticos.

$f(-3) = -(-3)^3 - 6 (-3)^2 - 9(-3) - 2$

$f(3) = 27-54-27 - 2= -2$

$f(-1) = -(-1)^3 - 6(-1)^2 - 9(-1) - 2$
$f(-1) = 1 -6 + 9 -2 = 2$

Portanto, a função $f$ tem

$color(green)((-3"," -2)) ->$ mínimo local
$color(green)((-1","2)) ->$ máximo local

gráfico {-x ^ 3 - 6x ^ 2 - 9x - 2 [-10, 10, -5, 5]}

Como você encontra todos os extremos relativos da função f (x) = -x ^ 3 -6x ^ 2-9x-2 f(x)=−x3−6x2−9x−2f (x) = -x ^ 3 -6x ^ 2-9x-2 ?

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Explicação:

Como você encontra todos os extremos relativos da função $f (x) = - x^{3} - 6 x^{2} - 9 x - 2$ $f (x) = -x ^ 3 -6x ^ 2-9x-2$ ?