Como você encontra todos os extremos relativos da função #f (x) = -x ^ 3 -6x ^ 2-9x-2 #?

Para uma determinada função, extremos relativosou máximos e mínimos locais, pode ser determinado usando o primeiro teste derivado, que permite verificar se há alterações de sinal de #f^'# em torno da função Pontos críticos.

Para uma ponto crítico ser extremos locais, a função deve ir de aumentando, Isto é, positivo #f^'#, Para decrescente, Isto é, negativo #f^'#, ou vice-versa, por esse ponto.

Então, comece determinando a primeira derivada de #f#

#f^' = -3x^2 - 12x - 9#

Para determinar os pontos críticos da função, faça #f^' = 0# e resolver para #x#

#f^' = 0#

#f^' = -3x^2 - 12x - 9 = 0#

Isso é equivalente a

#-3(x^2 + 4x + 3) = 0#ou

#x^2 + 4x + 3 = 0#

#x_(1,2) = (-4 +- sqrt(4^2 - 4 * 1 * 3))/2 = {(x_1 = -3), (x_2 = -1) :}#

Como não há restrições de domínio para sua função, as duas soluções serão Pontos críticos.

Agora verifique se a primeira derivada muda de sinal em torno desses pontos. Como você está lidando com dois pontos críticos, precisará analisar Intervalos 3.

Selecione um valor para alcançar esses intervalos e observe o sinal de #f^'#

• #(-oo,-3)#

#f^'(-4) = -3* (-4 + 1) * (-4+3)#

#f^'(-4) = -3 * (-3) * (-1) = -9 -> color(red)("negative")#

• #(-3,-1)#

#f^'(0) = -3 * (-2+1) * (-2+3)#

#f^'(0) = -3 * (-1) * (+1) = 3 -> color(green)("positive")#

• #(-1, oo)#

#f^'(0) = -3 * (0+1) * (0 + 3)#

#f^'(0) = -3 * 1 * 3 = -9 -> color(red)("negative")#

A primeira derivada muda de sinal duas vezes. Passa de ser negativo ser positivo por aí #x=-3#, o que significa que esse ponto crítico é um mínimo local.

Por outro lado, passa de ser positivo ser negativo em torno do ponto #x=-1#, o que significa que esse ponto crítico é um máximo local.

Isso é equivalente a ter uma função que vai de decrescente para aumentando (pense em um vale) em torno do ponto #x=-3#, e de aumentando para decrescente (pense em uma colina) em torno do ponto #x=-1#.

Para obter os pontos reais nos quais a função possui o mínimo e o máximo locais, avalie #f# nos pontos críticos.

#f(-3) = -(-3)^3 - 6 (-3)^2 - 9(-3) - 2#

#f(3) = 27-54-27 - 2= -2#

e

#f(-1) = -(-1)^3 - 6(-1)^2 - 9(-1) - 2#
#f(-1) = 1 -6 + 9 -2 = 2#

Portanto, a função #f# tem

#color(green)((-3"," -2)) -># mínimo local
#color(green)((-1","2)) -># máximo local

gráfico {-x ^ 3 - 6x ^ 2 - 9x - 2 [-10, 10, -5, 5]}