Como você encontra um vetor de unidade ortogonal a ambos u = (1, 0, 1) v = (0, 1, 1)?

O produto cruzado de #u = (u_1, u_2, u_3)# e #v = (v_1, v_2, v_3)# É dado por:

#(u_1, u_2, u_3) xx (v_1, v_2, v_3) = (abs((u_2, u_3),(v_2, v_3)), abs((u_3, u_1),(v_3, v_1)), abs((u_1, u_2),(v_1, v_2)))#

Isso será ortogonal para ambos #u# e #v#, mas precisará ser redimensionada para aumentar o tamanho da unidade.

Então encontramos:

#u xx v = (1, 0, 1) xx (0, 1, 1)#

#= (abs((0, 1),(1, 1)), abs((1, 1),(1, 0)), abs((1, 0),(0,1)))#

#= (-1, -1, 1)#

Então:
#||""(-1, -1, 1) || = sqrt((-1)^2+(-1)^2+1^2) = sqrt(1+1+1) = sqrt(3)#

Então, para fazer #(-1, -1, 1)# em um vetor unitário, divida-o por #sqrt(3)#:

#1/sqrt(3) (-1, -1, 1) = sqrt(3)/3 (-1, -1, 1) = (-sqrt(3)/3, -sqrt(3)/3, sqrt(3)/3)#