Como você encontra uma representação de série de potência para #ln (1-x) # e qual é o raio de convergência?

Deixando #f(x)=ln(1-x)#, você poderia usar a fórmula #f(0)+f'(0)x+(f''(0))/(2!)x^2+(f'''(0))/(3!)x^3+cdots# para obter a resposta acima.

No entanto, é mais interessante (divertido?) Usar a série geométrica #1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+cdots# e integrá-lo termo a termo, usando o fato de que #ln(1-x)=-int 1/(1-x) dx#, com #C=0# desde #ln(1-0)=ln(1)=0#.

Fazer isso fornece:

#ln(1-x)=-int (1+x+x^2+x^3+x^4+cdots) dx#

#=C-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-cdots#

#=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-cdots#

Desde #1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+cdots# para #|x|<1#, isso implica que o raio de convergência é 1.

No entanto, uma coisa interessante acontece em #x=-1# para a série #-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-cdots#. Acaba igualando #1-1/2+1/3-1/4+cdots#, que é a chamada Série harmônica alternada, que converge (embora não seja "absolutamente"). Além disso, também acontece igual #ln(1-(-1))=ln(2)#.

Portanto, mesmo que o raio de convergência seja #1#, a série para #ln(1-x)# converge e é igual #ln(1-x)# no intervalo semi-aberto / semi-fechado #[-1,1)# (não converge em #x=1# já que é o oposto da série harmônica).