Como você encontra uma representação de série de potência para ln (5-x) e qual é o raio de convergência?
Podemos começar pela série de poder que você aprendeu durante o semestre:
1/(1-u) = sum_(n=0)^(N) u^n = 1 + u + u^2 + u^3 + ...
Agora, vamos trabalhar a partir de ln(5-x) para chegar 1/(1-u).
d/(dx)[ln(5-x)] = -1/(5-x) = -1/5*1/(1-x/5)
Assim, com u = x/5, nós apenas pegamos o derivado e depois fatoramos -1/5. Para obter a série de potências, temos que trabalhar para trás.
Fizemos isso:
- Diferenciamos nossa meta.
- Fatorado -1/5.
- Substituído x/5 para u.
Agora, apenas revertemos o que fizemos, a partir da própria série de poder.
- Substituto u = x/5.
- Multiplique por -1/5.
- Integre o resultado.
Desde int "function"= int"power series of that function", nós podemos fazer isso:
1/(1-x/5) = 1 + x/5 + x^2/25 + x^3/125 + ...
-1/5*1/(1-x/5) = -1/5 - x/25 - x^2/125 - x^3/625 - ...
int -1/5*1/(1-x/5)dx = ln(5-x)
= int -1/5 - x/25 - x^2/125 - x^3/625 - ...dx
= mathbf(C) - x/5 - x^2/50 - x^3/375 - x^4/2500 - ...
Observe como ainda temos que descobrir a constante C porque realizamos o indeterminado integrante. C é o termo para n = 0.
Para séries regulares de potência derivadas de 1/(1-x), nós escrevemos
sum_(n=0)^N (x-0)^n = 1/(1-x).
where the power series is centered around a = 0 since it's really the Maclaurin series (meaning, the Taylor series centered around a = 0).
Sabemos que a constante não deve conter um x termo (porque x é uma variável). A constante não pode ser lnxentão a constante C is color(green)(ln(5)). Então, nós temos:
color(blue)(ln(5-x) = ln(5) - x/5 - x^2/50 - x^3/375 - x^4/2500 - ...)
E finalmente, para o raio de convergência, é |x| < 5 Porque ln(5-x) se aproxima -oo as x->5. Sabemos que as séries de potência já devem convergir para ln(5-x) onde quer que a função exista porque foi construída para a função.