Como você encontra uma representação de série de potência para `ln (5-x)` e qual é o raio de convergência?

Podemos começar pela série de poder que você aprendeu durante o semestre:

`1/(1-u) = sum_(n=0)^(N) u^n = 1 + u + u^2 + u^3 + ...`

Agora, vamos trabalhar a partir de `ln(5-x)` para chegar `1/(1-u)`.

`d/(dx)[ln(5-x)] = -1/(5-x) = -1/5*1/(1-x/5)`

Assim, com `u = x/5`, nós apenas pegamos o derivado e depois fatoramos `-1/5`. Para obter a série de potências, temos que trabalhar para trás.

Fizemos isso:

1. Diferenciamos nossa meta.
2. Fatorado `-1/5`.
3. Substituído `x/5` para `u`.

Agora, apenas revertemos o que fizemos, a partir da própria série de poder.

1. Substituto `u = x/5`.
2. Multiplique por `-1/5`.
3. Integre o resultado.

Desde `int "function"= int"power series of that function"`, nós podemos fazer isso:

`1/(1-x/5) = 1 + x/5 + x^2/25 + x^3/125 + ...`

`-1/5*1/(1-x/5) = -1/5 - x/25 - x^2/125 - x^3/625 - ...`

`int -1/5*1/(1-x/5)dx = ln(5-x)`

`= int -1/5 - x/25 - x^2/125 - x^3/625 - ...dx`

`= mathbf(C) - x/5 - x^2/50 - x^3/375 - x^4/2500 - ...`

Observe como ainda temos que descobrir a constante `C` porque realizamos o indeterminado integrante. `C` é o termo para `n = 0`.

Para séries regulares de potência derivadas de `1/(1-x)`, nós escrevemos

`sum_(n=0)^N (x-0)^n = 1/(1-x)`.
where the power series is centered around `a = 0` since it's really the Maclaurin series (meaning, the Taylor series centered around `a = 0`).

Sabemos que a constante não deve conter um `x` termo (porque `x` é uma variável). A constante não pode ser `lnx`então a constante `C` is `color(green)(ln(5))`. Então, nós temos:

`color(blue)(ln(5-x) = ln(5) - x/5 - x^2/50 - x^3/375 - x^4/2500 - ...)`

E finalmente, para o raio de convergência, é `|x| < 5` Porque `ln(5-x)` se aproxima `-oo` as `x->5`. Sabemos que as séries de potência já devem convergir para `ln(5-x)` onde quer que a função exista porque foi construída para a função.