Como você escreve um polinômio com zeros: -2, multiplicidade 2; 4, multiplicidade 1; grau 3?

Responda:

$p (x) = x^{3} - 12 x - 16$ $p(x)=x^3-12x-16$

Explicação:

Para um polinômio, se $x = a$ $x=a$ é um zero da função, então $(x - a)$ $(x-a)$ é um fator da função.

Temos dois únicos zeros: $- 2$ $-2$ e $4$ $4$ . No entanto, $- 2$ $-2$ tem uma multiplicidade de $2$ $2$ , o que significa que o fator que se correlaciona com um zero de $- 2$ $-2$ é representado no polinômio duas vezes.

Siga as cores para ver como o polinômio é construído:

$zero at - 2, multiplicity 2$ $"zero at "color(red)(-2)", multiplicity "color(blue)2$
$zero at 4, multiplicity 1$ $"zero at "color(green)4", multiplicity "color(purple)1$

$p (x) = {(x - (- 2))}^{2} {(x - 4)}^{1}$ $p(x)=(x-(color(red)(-2)))^color(blue)2(x-color(green)4)^color(purple)1$

Assim,

$p (x) = {(x + 2)}^{2} (x - 4)$ $p(x)=(x+2)^2(x-4)$

Expandir:

$p (x) = (x^{2} + 4 x + 4) (x - 4)$ $p(x)=(x^2+4x+4)(x-4)$

$p (x) = x^{3} - 12 x - 16$ $p(x)=x^3-12x-16$

Podemos representar graficamente a função para entender multiplicidades e zeros visualmente:

gráfico {x ^ 3-12x-16 [-6, 6, -43.83, 14.7]}

O zero em $x = - 2$ $x=-2$ "ricocheteia" o $x$ $x$ -eixo. Esse comportamento ocorre quando a multiplicidade de um zero é par.

O zero em $x = 4$ $x=4$ continua através do $x$ $x$ -axis, como é o caso de multiplicidades ímpares.

Observe que a função faz tem três zeros, o que é garantido pelo Teorema Fundamental da Álgebra, mas um desses zeros é representado duas vezes.