Como você escreve um polinômio com zeros: -2, multiplicidade 2; 4, multiplicidade 1; grau 3?
Responda:
p(x)=x^3-12x-16p(x)=x3−12x−16
Explicação:
Para um polinômio, se x=ax=a é um zero da função, então (x-a)(x−a) é um fator da função.
Temos dois únicos zeros: -2−2 e 44. No entanto, -2−2 tem uma multiplicidade de 22, o que significa que o fator que se correlaciona com um zero de -2−2 é representado no polinômio duas vezes.
Siga as cores para ver como o polinômio é construído:
"zero at "color(red)(-2)", multiplicity "color(blue)2zero at −2, multiplicity 2
"zero at "color(green)4", multiplicity "color(purple)1zero at 4, multiplicity 1p(x)=(x-(color(red)(-2)))^color(blue)2(x-color(green)4)^color(purple)1p(x)=(x−(−2))2(x−4)1
Assim,
p(x)=(x+2)^2(x-4)p(x)=(x+2)2(x−4)
Expandir:
p(x)=(x^2+4x+4)(x-4)p(x)=(x2+4x+4)(x−4)
p(x)=x^3-12x-16p(x)=x3−12x−16
Podemos representar graficamente a função para entender multiplicidades e zeros visualmente:
gráfico {x ^ 3-12x-16 [-6, 6, -43.83, 14.7]}
O zero em x=-2x=−2 "ricocheteia" o xx-eixo. Esse comportamento ocorre quando a multiplicidade de um zero é par.
O zero em x=4x=4 continua através do xx-axis, como é o caso de multiplicidades ímpares.
Observe que a função faz tem três zeros, o que é garantido pelo Teorema Fundamental da Álgebra, mas um desses zeros é representado duas vezes.