Como você estima a taxa instantânea de mudança em um ponto?

Para uma estimativa do instantâneo taxa de variação de uma função em um ponto, desenhe uma linha entre dois pontos ("pontos de referência") muito perto do ponto desejado e determine a inclinação dessa linha. Você pode melhorar a precisão de sua estimativa escolhendo pontos de referência mais próximos do ponto desejado.

notas Nesta explicação, presumo que o leitor esteja ciente e familiarizado com o conceito de cálculo de limites. Para quem não é, está abaixo um link para um site com o que considero uma boa explicação do conceito.

http://www.mathsisfun.com/calculus/limits.html

Além disso, aqui está um vídeo que fiz há vários anos, que tenta dar uma explicação clara e concisa dos limites e derivativos em termos leigos. Há um breve aumento de volume na segunda marca 0: 05 que pode surpreender os espectadores.

Se você preferir uma explicação por escrito, fique à vontade para ler.
Nota final

Ao olhar para um gráfico de uma função #f(x)#, pode-se representar graficamente a taxa de alteração em um determinado intervalo de #x#. Por exemplo, se eu declarar que corri uma distância de milhas 3 ao longo de minutos 30, já que sabemos que meus velocidade média será igual à minha distância percorrida dividida pelo tempo que levou, calculamos que a minha velocidade média é 0.1 milhas por minuto ou 6 milhas por hora. Nesse caso, usamos a fórmula

#v_[a,b] = [(f(b)-f(a))/(b-a)]#

para calcular a velocidade média #v# da minha função de distância com #a=0, f(a) = 0, b=30, f(b)=3.#

Em um gráfico matemático, se minha distância em função do tempo fosse uma curva, esse valor seria a inclinação de um linha secante que cruza a curva em nossos dois pontos de referência (minha distância inicial de 0 aos minutos 0 e minha última distância de milhas 3 aos minutos 30). Se minha velocidade real foi constante a 0.1 milhas por minuto durante a corrida, essa linha secante é idêntica à minha função de distância.

No entanto, se minha velocidade flutuar, a distância será uma curva, em oposição a uma linha, e a secante não será idêntica à minha função de distância, embora pelo menos ainda se cruze nos meus dois pontos de referência (o início e o início). final da minha execução neste caso). Nesse caso, posso ter uma idéia melhor da minha velocidade exata nesse ponto, escolhendo uma linha secante com pontos de referência mais próximos do meu ponto de destino.

Como exercício, suponha que eu lhe diga que a taxa instantânea de alteração da função #f(x) = x^3 -1# no ponto #x=2# é 12. Você pode estimar isso usando intervalos de tamanho diferente. Nesse caso, tente primeiro o intervalo #[-1,5]# seguido pelo intervalo #[0,4]# e depois o intervalo #[1,3]#. Você deve observar que, à medida que seu intervalo diminui, sua estimativa se aproxima do valor real de 12!

Citações:

Pierce, Rod. "Limites (uma introdução)" A matemática é divertida. Ed. Rod Pierce. 13 Jan 2014. 11 Ago 2014 http://www.mathsisfun.com/calculus/limits.html

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