Como você integra # 1 / (1 + tanx) dx #?

Deixei

#I=int1/(1+tanx)dx#

Aplique a substituição #tanx=u#:

#I=int1/((1+u^2)(1+u))du#

Aplique decomposição de fração parcial:

#I=1/2int((1-u)/(1+u^2)+1/(1+u))du#

Reorganizar:

#I=1/2int(1/(1+u^2)-1/2(2u)/(1+u^2)+1/(1+u))du#

Integrar termo por termo:

#I=1/2(tan^(-1)u-1/2ln(1+u^2)+ln(1+u))+C#

Inverta a substituição:

#I=1/2(x-ln(secx)+ln(1+tanx))+C#

Simplificar:

#I=1/2(x+ln(sinx+cosx))+C#