Como você integra $1 / (1 + tanx) dx$ ?

Use a substituição $tanx=u$ .

Deixei

$I=int1/(1+tanx)dx$

Aplique a substituição $tanx=u$ :

$I=int1/((1+u^2)(1+u))du$

Aplique decomposição de fração parcial:

$I=1/2int((1-u)/(1+u^2)+1/(1+u))du$

Reorganizar:

$I=1/2int(1/(1+u^2)-1/2(2u)/(1+u^2)+1/(1+u))du$

Integrar termo por termo:

$I=1/2(tan^(-1)u-1/2ln(1+u^2)+ln(1+u))+C$

Inverta a substituição:

$I=1/2(x-ln(secx)+ln(1+tanx))+C$

Simplificar:

$I=1/2(x+ln(sinx+cosx))+C$

Como você integra 1 / (1 + tanx) dx 1 / (1 + tanx) dx ?