Como você integra #int sin (lnx) # pela integração pelo método de partes?

Deixei #I = int sin(lnx) dx#

Precisamos decidir (adivinhar) se devemos usar #sin(lnx)#as #u# or #dv#. Acontece que qualquer um irá funcionar.

Método 1
Deixei #u = sin(lnx)# e #dv = dx#.

Então #du = 1/x cos(lnx) dx# e #v = x#

#I = uv-intvdu#

# = xsin(lnx)-intcos(lnx) dx#

Repita com #u = cos(lnx)# e #dv = dx#,

so #du = -1/xsin(lnx)# e #v = x#.

#I = xsin(lnx)-[ xcos(lnx)- int -sin(lnx) dx ]#

#I = xsin(lnx)- xcos(lnx)- underbrace(int sin(lnx) dx)_I #

#2I = xsin(lnx)- xcos(lnx)#

#I = 1/2( xsin(lnx)- xcos(lnx) )#

Método 2

Deixei #I = int sin(lnx) dx#

Para utilizar #sin(lnx) dx# in #dv#, precisaremos integrar #dv#.
Poderíamos usar a substituição se tivéssemos a derivada de #lnx# como um fator, então vamos apresentá-lo.

#I = int x sin(lnx) 1/x dx#

Deixei #u = x# e #dv = sin(lnx) 1/x dx#.

Então #du =dx# e #v = -cos(lnx)#

#I = uv-intvdu#

# = -xcos(lnx)+int cos(lnx) dx#

Usaremos as peças novamente. (E esperamos que funcione. Se não funcionar, tentaremos outra coisa.)

# = -xcos(lnx)+int x cos(lnx) 1/x dx#

Deixei #u = x# e #dv = cos(lnx) 1/x dx#.

Então #du =dx# e #v = sin(lnx)#

#I = -xcos(lnx)+[xsin(lnx)-underbrace(intsin(lnx) dx)_I]#

#2I = -xcos(lnx)+xsin(lnx)#

#I = 1/2( xsin(lnx)- xcos(lnx) )#