Como você integra $int sin (lnx)$ pela integração pelo método de partes?

Deixei $I = int sin(lnx) dx$

Precisamos decidir (adivinhar) se devemos usar $sin(lnx)$ as $u$ or $dv$ . Acontece que qualquer um irá funcionar.

Método 1
Deixei $u = sin(lnx)$ e $dv = dx$ .

Então $du = 1/x cos(lnx) dx$ e $v = x$

$I = uv-intvdu$

$= xsin(lnx)-intcos(lnx) dx$

Repita com $u = cos(lnx)$ e $dv = dx$ ,

so $du = -1/xsin(lnx)$ e $v = x$ .

$I = xsin(lnx)-[ xcos(lnx)- int -sin(lnx) dx ]$

$I = xsin(lnx)- xcos(lnx)- underbrace(int sin(lnx) dx)_I$

$2I = xsin(lnx)- xcos(lnx)$

$I = 1/2( xsin(lnx)- xcos(lnx) )$

Método 2

Deixei $I = int sin(lnx) dx$

Para utilizar $sin(lnx) dx$ in $dv$ , precisaremos integrar $dv$ .
Poderíamos usar a substituição se tivéssemos a derivada de $lnx$ como um fator, então vamos apresentá-lo.

$I = int x sin(lnx) 1/x dx$

Deixei $u = x$ e $dv = sin(lnx) 1/x dx$ .

Então $du =dx$ e $v = -cos(lnx)$

$I = uv-intvdu$

$= -xcos(lnx)+int cos(lnx) dx$

Usaremos as peças novamente. (E esperamos que funcione. Se não funcionar, tentaremos outra coisa.)

$= -xcos(lnx)+int x cos(lnx) 1/x dx$

Deixei $u = x$ e $dv = cos(lnx) 1/x dx$ .

Então $du =dx$ e $v = sin(lnx)$

$I = -xcos(lnx)+[xsin(lnx)-underbrace(intsin(lnx) dx)_I]$

$2I = -xcos(lnx)+xsin(lnx)$

$I = 1/2( xsin(lnx)- xcos(lnx) )$

Como você integra int sin (lnx) int sin (lnx) pela integração pelo método de partes?

Como você integra $int sin (lnx)$ pela integração pelo método de partes?