Como você obtém a complexa raiz do cubo do 8?

As raízes do cubo de $8$ estão $2$ , $2omega$ e $2omega^2$ onde $omega=-1/2+sqrt(3)/2 i$ é a raiz primitiva do cubo Complex de $1$ .

Aqui estão as raízes do cubo de $8$ plotado no plano complexo no círculo de raio $2$ :

graph{(x^2+y^2-4)((x-2)^2+y^2-0.01)((x+1)^2+(y-sqrt(3))^2-0.01)((x+1)^2+(y+sqrt(3))^2-0.01) = 0 [-5, 5, -2.5, 2.5]}

Eles podem ser escritos como:

$2(cos(0)+i sin(0)) = 2$

$2(cos((2pi)/3) + i sin((2pi)/3)) = -1 + sqrt(3)i = 2omega$

$2(cos((4pi)/3) + i sin((4pi)/3)) = -1 - sqrt(3)i = 2omega^2$

Uma maneira de encontrar essas raízes cúbicas de $8$ é encontrar todas as raízes de $x^3-8 = 0$ .

$x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$

O fator quadrático pode ser resolvido usando a fórmula quadrática:

$x = (-b +-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$

$= (-2+-sqrt(2^2-(4xx1xx4)))/(2*1)$

$=(-2+-sqrt(-12))/2$

$=-1+-sqrt(3)i$