Como você obtém a complexa raiz do cubo do 8?

As raízes do cubo de #8# estão #2#, #2omega# e #2omega^2# onde #omega=-1/2+sqrt(3)/2 i# é a raiz primitiva do cubo Complex de #1#.

Aqui estão as raízes do cubo de #8# plotado no plano complexo no círculo de raio #2#:

graph{(x^2+y^2-4)((x-2)^2+y^2-0.01)((x+1)^2+(y-sqrt(3))^2-0.01)((x+1)^2+(y+sqrt(3))^2-0.01) = 0 [-5, 5, -2.5, 2.5]}

Eles podem ser escritos como:

#2(cos(0)+i sin(0)) = 2#

#2(cos((2pi)/3) + i sin((2pi)/3)) = -1 + sqrt(3)i = 2omega#

#2(cos((4pi)/3) + i sin((4pi)/3)) = -1 - sqrt(3)i = 2omega^2#

Uma maneira de encontrar essas raízes cúbicas de #8# é encontrar todas as raízes de #x^3-8 = 0#.

#x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)#

O fator quadrático pode ser resolvido usando a fórmula quadrática:

#x = (-b +-sqrt(b^2-4ac))/(2a)#

#= (-2+-sqrt(2^2-(4xx1xx4)))/(2*1)#

#=(-2+-sqrt(-12))/2#

#=-1+-sqrt(3)i#