Como você prova: # sinx / cosx + cosx / sinx = 1 #?

Você não pode provar isso, não é uma identidade.

Deixe me mostrar a você o porquê.

Primeiro de tudo, você deve encontrar o múltiplo menos comum para adicionar as duas frações. Seu múltiplo menos comum é #cos x * sin x #:

# sin x / cos x + cos x / sin x = 1 #

# (sin x * sin x ) / (cos x * sin x ) + (cos x * cos x) / (cos x * sin x ) = 1#

# (sin^2x + cos^2 x) / (cos x sin x ) = 1#

Lembre-se que #sin^2 x + cos^2 x = 1#...

# 1 / (cos x sin x ) = 1 #

Agora, isso só pode ser verdade se o denominador for igual a #1# o que significaria que #sin x = 1 / cos x# para todos #x#.

As

# 1 / cos x = sec x #,

e #sec x# certamente não é o mesmo que #sin x#, sua equação não pode ser uma identidade.

Como você pode ver no gráfico abaixo, a equação nem sequer tem soluções para #x#:

Gráfico de #(cos x * sin x - 1)#:

gráfico {cos x * sin x - 1 [-6.24, 6.244, -3.12, 3.12]}