Como você simplifica frações com raízes quadradas?

Digamos que eu tenho:

#5/sqrt2#

Como simplifico isso?

Lembre-se que #sqrt2xxsqrt2=2# E se eu puder multiplicar o denominador por #sqrt2#, obteremos 2 para o denominador. E isso pode ser feito, desde que multiplicemos o numerador e o denominador pela mesma coisa (o que significa que multiplicamos a fração por 1 e não alteramos seu valor):

#5/sqrt2(1)=5/sqrt2(sqrt2/sqrt2)=(5sqrt2)/2#

Eu posso fazer o mesmo tipo de coisa se tiver um radical misto no meu denominador. Digamos que é:

#5/(3-sqrt2)#

Se eu multiplicar dois tipos desse tipo de número, um adicionando o raiz quadrada e a outra subtração, eu posso simplificar. Vejamos nosso exemplo novamente. Com #3-sqrt2#, podemos multiplicar por #3+sqrt2#:

#(3-sqrt2)(3+sqrt2)=9-3sqrt2+3sqrt2-2=7#

E assim, para a fração total, temos:

#5/(3-sqrt2)((3+sqrt2)/(3+sqrt2))=(15+5sqrt2)/7#