Como você simplifica # sqrt65 #?

Se um radicand (a parte sob o sinal da raiz) de uma raiz quadrada tiver um fator quadrado, poderá ser simplificado:

#sqrt(a^2b) = abs(a) sqrt(b)#

ou se você sabe disso #a >= 0#, mais simplesmente:

#sqrt(a^2b) = a sqrt(b)#

Por exemplo, #sqrt(24) = sqrt(2^2*6) = 2sqrt(6)#

No nosso exemplo, encontramos #65 = 5 * 13# não possui fatores quadrados, portanto não pode ser simplificado dessa maneira.

Se quiser, você pode expressá-lo novamente:

#sqrt(65) = sqrt(5)sqrt(13)#

mas isso não é (até onde eu sei) considerado "mais simples".

#color(white)()#
Observe que #sqrt(65)# é um número irracional. Ou seja, não pode ser expresso como uma fração #p/q# para números inteiros #p# e #q#. Como resultado, sua expansão decimal não termina ou se repete.

#color(white)()#
Bônus

#65 = 64 + 1 = 8^2 + 1#

é da forma #n^2 + 1# com #n = 8#.

Como resultado, a raiz quadrada pode ser expressa como um método muito simples fração continuada ...

#sqrt(65) = [8;bar(16)] = 8+1/(16+1/(16+1/(16+1/(16+...))))#

Você pode usar isso para lhe dar uma boa aproximações para #sqrt(65)#, truncando a fração continuada após alguns termos.

Por exemplo,

#[8; 16] = 8+1/16 = 129/16 = 8.0625#

#[8; 16, 16] = 8+1/(16+1/16) = 8+16/257 = 2072/257 ~~ 8.0622568#

Na realidade #sqrt(65)# está mais perto de #8.06225774829854965236#