Encontre a área de um loop da curva $r = a sin3theta$ ?

Responda:

$(pia^2)/12$

Explicação:

onde $a=1$ , a curva se parece com:

desmos.com

Aumentar ou diminuir o valor de $a$ mudará apenas o raio da curva.

Para descobrir quando a curva começa e termina, defina $r=0$ , pois é aí que a curva está na origem.

If $asin3theta=0$ , Em seguida $sin3theta=0$ . Desde $sintheta=0$ at $theta=0,pi,2pi...$ nós vemos isso por $sin3theta$ , será $0$ at $0,pi//3,2pi//3...$

Portanto, a curva no primeiro quadrante varia de $theta=0$ para $theta=pi//3$ .

A expressão para a área de qualquer equação polar $r$ de $theta=alpha$ para $theta=beta$ É dado por $1/2int_alpha^betar^2d theta$ .

Para um loop da equação dada, a integral correspondente é então $1/2int_0^(pi//3)(asin3theta)^2d theta$ .

Trabalhando esta integral:

$1/2int_0^(pi//3)(asin3theta)^2d theta=1/2int_0^(pi//3)a^2(sin^2 3theta)d theta$

Use a identidade $cos2alpha=1-2sin^2alpha$ reescrever para $sin^2alpha$ , Mostrando que $sin^2alpha=1/2(1-cos2alpha)$ .

Podemos usar isso para dizer que $sin^2 3theta=1/2(1-cos6theta)$ . Então a integral reduz:

$=1/2int_0^(pi//3)a^2(1/2(1-cos6theta))d theta=a^2/4int_0^(pi//3)(1-cos6theta)d theta$

Integração termo a termo:

$=a^2/4(theta-1/6sin6theta)|_0^(pi//3)$

$=a^2/4[pi/3-1/6sin2pi-(0-1/6sin0)]$

$=a^2/4(pi/3)$

$=(pia^2)/12$

Encontre a área de um loop da curva r = a sin3theta r = a sin3theta ?

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Explicação:

Encontre a área de um loop da curva $r = a sin3theta$ ?