Encontre os valores de `x` para os quais a seguinte série é convergente?

Ao tentar determinar o raio e / ou intervalo de convergência de séries de potência como essas, é melhor usar o Teste de Relação, que nos indica uma série `suma_n`, Nós deixamos

`L=lim_(n->oo)|a_(n+1)/a_n|`.

If `L<1` a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente)

If `L>1`, a série diverge.

If `L=1,` o teste de proporção é inconclusivo.

Para Power Series, no entanto, três casos são possíveis

uma. A série de potência converge para todos os números reais; seu intervalo de convergência é `(-oo, oo)`
b. A série de potência converge para algum número `x=a;` seu raio de convergência é zero.
c. O caso mais frequente, a série de potência converge para `|x-a|<R` com um intervalo de convergência de `a-R<x<a+R` onde devemos testar os pontos de extremidade para ver o que acontece com eles.

Então aqui,

`a_n=(2x-3)^n`

`a_(n+1)=(2x-3)^(n+1)=(2x-3)(2x-3)^n`

Portanto, aplique o teste de proporção:

`lim_(n->oo)|((cancel((2x-3)^n)(2x-3))/cancel((2x-3)^n))|`

`|2x-3|lim_(n->oo)1=|2x-3|`

Então se `|2x-3|<1`, a série converge. Mas precisamos disso na forma `|x-a|<R:`

`|2(x-3/2)|<1`

`2|x-3/2|<1`

`|x-3/2|<1/2` resulta em convergência. O raio de convergência é `R=1/2.`

Agora, vamos determinar o intervalo:

`-1/2<x-3/2<1/2`

`-1/2+3/2<x<1/2+3/2`

`1<x<2`

Precisamos conectar `x=1, x=2` na série original para ver se temos convergência ou divergência nesses pontos finais.

`x=1: sum_(n=0)^oo(2(1)-3)^n=sum_(n=0)^oo(-1)^n` diverge, o somatório não tem limite e certamente não chega a zero, apenas alterna sinais.

`x=2: sum_(n=0)^oo(4-3)^n=sum_(n=0)^oo1` diverge também pelo teste de divergência, `lim_(n->oo)a_n=lim_(n->oo)1=1 ne 0`

Portanto, a série converge para `1<x<2`