Encontre os valores de # x # para os quais a seguinte série é convergente?

Ao tentar determinar o raio e / ou intervalo de convergência de séries de potência como essas, é melhor usar o Teste de Relação, que nos indica uma série #suma_n#, Nós deixamos

#L=lim_(n->oo)|a_(n+1)/a_n|#.

If #L<1# a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente)

If #L>1#, a série diverge.

If #L=1,# o teste de proporção é inconclusivo.

Para Power Series, no entanto, três casos são possíveis

uma. A série de potência converge para todos os números reais; seu intervalo de convergência é #(-oo, oo)#
b. A série de potência converge para algum número #x=a;# seu raio de convergência é zero.
c. O caso mais frequente, a série de potência converge para #|x-a|<R# com um intervalo de convergência de #a-R<x<a+R# onde devemos testar os pontos de extremidade para ver o que acontece com eles.

Então aqui,

#a_n=(2x-3)^n#

#a_(n+1)=(2x-3)^(n+1)=(2x-3)(2x-3)^n#

Portanto, aplique o teste de proporção:

#lim_(n->oo)|((cancel((2x-3)^n)(2x-3))/cancel((2x-3)^n))|#

#|2x-3|lim_(n->oo)1=|2x-3|#

Então se #|2x-3|<1#, a série converge. Mas precisamos disso na forma #|x-a|<R:#

#|2(x-3/2)|<1#

#2|x-3/2|<1#

#|x-3/2|<1/2# resulta em convergência. O raio de convergência é #R=1/2.#

Agora, vamos determinar o intervalo:

#-1/2<x-3/2<1/2#

#-1/2+3/2<x<1/2+3/2#

#1<x<2#

Precisamos conectar #x=1, x=2# na série original para ver se temos convergência ou divergência nesses pontos finais.

#x=1: sum_(n=0)^oo(2(1)-3)^n=sum_(n=0)^oo(-1)^n# diverge, o somatório não tem limite e certamente não chega a zero, apenas alterna sinais.

#x=2: sum_(n=0)^oo(4-3)^n=sum_(n=0)^oo1# diverge também pelo teste de divergência, #lim_(n->oo)a_n=lim_(n->oo)1=1 ne 0#

Portanto, a série converge para #1<x<2#