Existe um número "a" tal que exista a equação abaixo? Se sim, qual é o valor de "a" e seu limite.

Responda:

$a = 15$

$lim_(x->-2) (3x^2+15x+18)/(x^2+x-2) = -1$

Explicação:

$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

Portanto, o denominador contém exatamente um fator $(x+2)$

Então, para que $(3x^2+ax+a+3)/(x^2+x-2)$ tem um limite como $x->-2$ , o único requisito é que:

$3x^2+ax+(a+3)" "$ is divisible by $(x+2)$

Deixei $f(x) = 3x^2+ax+(a+3)$

Isso é divisível por $(x+2)$ se e apenas se $f(-2) = 0$

Substituindo $x=-2$ temos:

$f(-2) = 3(color(blue)(-2))^2+a(color(blue)(-2))+a+3$

$color(white)(f(-2)) = 12-2a+a+3$

$color(white)(f(-2)) = 15 - a$

Então exigimos $a=15$

Com esse valor de $a$ :

$f(x) = 3x^2+15x+18 = 3(x^2+5x+6) = 3(x+2)(x+3)$

$(3x^2+15x+18)/(x^2+x-2) = (3(color(red)(cancel(color(black)(x+2))))(x+3))/((color(red)(cancel(color(black)(x+2))))(x-1)) = (3(x+3))/(x-1)$

Assim:

$lim_(x->-2) (3x^2+15x+18)/(x^2+x-2) = lim_(x->-2) (3(x+3))/(x-1) = (3(color(blue)(-2)+3))/(color(blue)(-2)-1) = 3/(-3) = -1$