Expandir # sin ^ 6 x #?

Queremos expandir

#sin^6(x)#

Uma maneira é usar essas identidades repetidamente

• #sin^2(x)=1/2(1-cos(2x))#
• #cos^2(x)=1/2(1+cos(2x))#

Isso geralmente fica muito longo, o que às vezes leva a erros

Outra maneira é usar os números complexos (e a fórmula de Euler)

Podemos expressar seno e cosseno como

#color(red)(sin(x)=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i))# and #color(red)(cos(x)=(e^(ix)+e^(-ix))/2)#

Assim

#sin^6(x)=((e^(ix)-e^(-ix))/(2i))^6#

#=(e^(ix)-e^(-ix))^6/(-64)#

#=(e^(6ix)-6e^(4ix)+15e^(2ix)-20+15e^(-2ix)-6e^(-4ix)+e^(-6ix))/(-64)#

#=-1/32(e^(6ix)+e^(-6ix)-6e^(4ix)-6e^(-4ix)+15e^(2ix)+15e^(-2ix)-20)/2#

#=-1/32(cos(6x)-6cos(4x)+15cos(2x)-10)#

A terceira maneira é usar o teorema de De Moivre, podemos expressar

#color(blue)(2cos(nx)=z^n+1/z^n)# and #color(blue)(2isin(nx)=z^n-1/z^n#

onde #z^n=(cos(x)+isin(x))^n=cos(nx)+isin(nx)#

Assim

#(2isin(x))^6=(z-1/z)^6#

#=>sin^6(x)=-1/64(z-1/z)^6#

Expanda o binômio no lado direito

#BIN=(z^6+1/z^6-6z^4-6/z^4+15z^2+15/z^2-20)#

#color(white)(RHS)=(z^6+1/z^6-6*(z^4+1/z^4)+15*(z+1/z)+20)#

#color(white)(RHS)=(2cos(6x)-12cos(4x)+30cos(2x)-20)#

Assim

#sin^6(x)=-1/64(2cos(6x)-12cos(4x)+30cos(2x)-20)#

#sin^6(x)=-1/32(cos(6x)-6cos(4x)+15cos(2x)-10)#