Integração de sinx / x de 0 ao infinito?

Responda:

$\int_{0}^{\infty} \frac{sin x}{x} d x = \frac{π}{2}$ $int_0^oo sinx/x dx = pi/2$

Explicação:

Procuramos:

$I = \int_{0}^{\infty} \frac{sin x}{x} d x$ $I = int_0^oo sinx/x dx$

Deixei $g (x) = \frac{sin x}{x} \Rightarrow g (- x) = \frac{sin (- x)}{- x} = \frac{sin x}{x}$ $g(x) = sinx/x => g(-x) = sin(-x)/(-x) = sinx/x$

Assim $g (x)$ $g(x)$ é uma função par e, como tal:

$2 I = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{sin x}{x} d x$ $2I = int_(-oo)^oo sinx/x dx$

Considere a função baseada em complexo $f (z) = \frac{e^{i z}}{z}$ $f(z)=e^(iz)/z$ , Que tem um poste simples em $z = 0$ $z=0$ , consideramos a integral do contorno:

$J = \oint_{C} f (z) d z = \oint_{C} \frac{e^{i z}}{z} d z$ $J = oint_C f(z) dz = oint_C e^(iz)/z dz$ where $z in CC$

onde $C$ é um semicírculo de raio $R$ centrado na origem que é deformada na origem com um semicírculo menor de raio $epsilon$ para excluir o poste em $z = 0$ , e atravessamos o contorno no sentido anti-horário.

O integrando não possui pólos em $C$ como o poste $z = 0$ está excluído na construção acima. Assim, pelo Teorema de Cauchy:

$oint_C f(z) dz = 0$

Agora (em taquigrafia),

$oint_C f(z) dz = int_(-R)^(epsilon) + int_(gamma_epsilon) + int_(epsilon)^R + int_(Gamma_R) = 0$

Exigimos uma estimativa para $int_(Gamma_R) f(z) dz$ . Notar que $z=Re^(i theta)$ on $Gamma_R$ , temos:

$abs(int_(Gamma_R) e^(iz)/z dz) = abs(int_o^oo e^(iRcos theta-R sin theta) / (Re^(i theta)) iRe^(i theta) d theta )$
$" " le int_0^pi e^(-Rsin theta) d theta$
$" " = 2 int_0^(pi/2) e^(-Rsin theta) d theta$
$" " le 2 int_0^(pi/2) e^((-2R theta) / pi) d theta$ using $sin theta ge (2theta)/pi$
$" " = 2 [ (2e^((-2Rtheta)/pi) )/ ((-2R)/pi) ]_0^(pi/2)$
$" " = pi/R(1-e^-R)$
$" " rarr 0$ as $R rarr oo$

Dado que o pequeno círculo $gamma_epsilon$ tem a equação $z = r(cos theta + isin theta)$ para $theta:pi rarr 0$ então

$lim_(epsilon rarr 0) int_(gamma_epsilon) f(z) dz = i lim_(epsilon rarr 0) int_pi^0 e^(-rsin theta)e^(ircos theta) dz$
$" " = -pi i$

Tomando os dois limites $R rarr oo$ e $epsilon rarr 0$ e combinando todos esses resultados, temos:

$int_(-oo)^oo e^(iz)/z dz - pi i = 0 => int_(-oo)^oo (cosx+isinx)/x dx = pi i$

Igualando coeficientes reais e imaginários, obtemos:

$Re: int_(-oo)^oo cosx/x dx = 0$
$Im: int_(-oo)^oo sinx/x dx = pi$

Então, usando o resultado inicial

$2I = int_(-oo)^oo sinx/x dx => 2I = pi$

Conseqüentemente,

$I = pi/2$