No triângulo 30-60-90, onde o comprimento da perna longa é 9, qual é o comprimento da hipotenusa e da perna curta?

Em um triângulo 30-60-90, os lados podem ser descritos da seguinte maneira:

Lado curto: #1#
Hipotenusa: #2#
Lado longo: #sqrt(3)#

Estes podem ser considerados proporções. Se você olhar para isso em termos de seno e cosseno, isso fica um pouco mais claro, pois seno e cosseno fornecem a proporção dos lados:

#cos(60)="short"/"hyp"=1/2 rArr "short"=1, "hyp"=2#

#sin(60)="long"/"hyp"=sqrt(3)/2 rArr "long"=sqrt(3), "hyp"=2#

#tan(60)="long"/"short"=sqrt(3) rArr "long"=sqrt(3), "short"=1#

já que conhecemos as proporções, podemos multiplicá-las por uma constante, #x#

#"short"=1x=x#

#"hyp"=2x#

#"long"=sqrt(3)x=9#

Agora que temos uma equação que descreve o comprimento da perna longa em termos de proporções laterais, podemos resolver #x#e resolva rapidamente o lado curto e a hipotenusa:

#sqrt(3)x=9 rArr x=9/sqrt(3)=3*sqrt(3)^2/sqrt(3)#

#color(red)(x=3sqrt(3))#

#color(blue)("short"=x=3sqrt(3))#

#color(green)("hyp"=2x=6sqrt(3))#