O que .4 está se repetindo como uma fração?

Veja um processo de solução abaixo:

Primeiro, podemos escrever:

$x = 0 . ¯ 4$ $x = 0.bar4$

Em seguida, podemos multiplicar cada lado por $10$ $10$ dando:

$10 x = 4 . ¯ 4$ $10x = 4.bar4$

Então podemos subtrair cada lado da primeira equação de cada lado da segunda equação, dando:

$10 x - x = 4 . ¯ 4 - 0 . ¯ 4$ $10x - x = 4.bar4 - 0.bar4$

Agora podemos resolver para $x$ $x$ como se segue:

$10 x - 1 x = (4 + 0 . ¯ 4) - 0 . ¯ 4$ $10x - 1x = (4 + 0.bar4) - 0.bar4$

$(10 - 1) x = 4 + 0 . ¯ 4 - 0 . ¯ 4$ $(10 - 1)x = 4 + 0.bar4 - 0.bar4$

$9 x = 4 + (0 . ¯ 4 - 0 . ¯ 4)$ $9x = 4 + (0.bar4 - 0.bar4)$

$9 x = 4 + 0$ $9x = 4 + 0$

$9 x = 4$ $9x = 4$

$\frac{9 x}{9} = \frac{4}{9}$ $(9x)/color(red)(9) = 4/color(red)(9)$

$(color(red)(cancel(color(black)(9)))x)/cancel(color(red)(9)) = 4/9$

$x = 4/9$