O que é uma integral?

Em matemática, falamos sobre dois tipos de integrais. Integrais definidas e integrais indefinidos.

Geralmente, uma integral atribui números a funções de maneira a descrever deslocamento, área, volume e até probabilidade.

Integrais Definidos

Este tipo de integral está relacionado a valores numéricos. É usado em matemática pura, matemática aplicada, estatística, ciências e muito mais. No entanto, o conceito muito básico de uma integral definida descreve áreas.

A integral definida de uma função $f$ durante um intervalo $[a,b]$ representa a área definida pela função e o eixo x do ponto $a$ apontar $b$ , Como pode ser visto abaixo.

O símbolo usado para representar esta área $S$ e integral, respectivamente, é

$S=int_a^b f(x)"d"x$ , Onde

$diamond f " is called the integrand"$
$diamond a and b " are the lower and upper bounds"$
$diamond x " is a dummy variable"$

Você pode estar se perguntando o que $"d"x$ significa. Formalmente, isso não significa nada, mas indica a variável que você está diferenciando em relação ao nosso caso, ou a variável de integração.

Quando dizemos que a área definida pela função $f$ com o eixo x, queremos dizer o área líquida. A área líquida não é igual à área absoluta.

Se o gráfico da função estiver acima do eixo x, é dito que a área líquida é positiva. Se estiver abaixo, a área líquida é negativa. Isso pode ser mais difícil de entender a princípio. Isso é visualizado abaixo:

Por exemplo, digamos que temos a tarefa de encontrar a área líquida abaixo da curva $f(x)=x^2$ de $0$ para $1$ :

No nosso caso,

$S = int_0^1 x^2 "d"x$

Para não complicar esta resposta, aqui está um vídeo que a descreve com mais detalhes:

Como tal, ficou provado que $S=1/3$ .

Podemos fazer um caso geral aqui; para cada $n!=-1$ ,

$int_0^tau x^n "d"x = tau^(n+1)/(n+1)$

Ao mesmo tempo, o vídeo descreve Somas de Riemann. Eles são usados para calcular integrais. Geralmente, a soma de Riemann de uma função $phi$ is

$int_a^b phi(x)dx = lim_(n->oo) sum_(i=an)^(bn) phi(x_i)Deltax_i$

onde $Deltax_i = x_i-x_(i-1)$ e $x_i$ , como mencionado no vídeo acima, representa algumas "marcas" no eixo x. Uma solução possível é deixar $x_i=i"/"n$ . em seguida $Deltax_i = 1"/"n$ . Embora isso geralmente seja mais simples, pode não ser a maneira mais fácil ou rápida de calcular integrais.

Se lembrarmos do caso geral formado anteriormente, sobre a integral de $x^n$ de $0$ para $tau$ ; bem, isso é chamado de regra de poder. Existem muitas formas diferentes de fórmulas para integrais, que não abordarei nesta resposta. Esta é apenas uma ideia muito geral do que são integrais.

Integrais indefinidos

Eles são representados como integrais com limites. Deixei $I$ ser a integral indefinida de uma função $f$ .

$I=int f(x)"d"x$

Você pode pensar em integrais indefinidas como generalizações de definitivas.

Em vez de serem definidas por áreas, volumes ou outra coisa, integrais indefinidas se correlacionam com derivadas. A integral indefinida de uma função $f$ também é chamado de antiderivativo e é frequentemente observado como $F(x)$ .

O Teorema Fundamental do Cálculo preenche a lacuna entre uma função, sua derivada e sua integral indefinida. Basicamente, diz que $F$ é definida como a função que, quando diferenciada, fornece $f$ :

$F'(x) = f(x)$

Agora, digamos que queremos encontrar a antiderivada da função $f(x)=x^2$ .

$F(x) = int f(x)"d"x=intx^2"d"x$

Usando nossa definição anterior, que função temos para diferenciar para obter $x^2$ ? A Regra de Potência para derivativos afirma que, se $f(x)=x^n$ , Em seguida $f'(x) = nx^(n-1)$ . Como tal, se assumirmos $F(x)$ ser uma função algébrica do tipo

$F(x) = "constant"*x^"exponent"$ , temos:

$F(x) = cx^k => F'(x) = ckx^(k-1)$

Exceto que isso não está completo. Lembre-se de que, ao diferenciar uma constante em relação a uma variável, ela praticamente desaparece, daí a verdadeira forma de $F(x)$ is

$F(x) = "constant"_1*x^"exponent"+"constant"_2$

Deixei $alpha$ e $C$ sejam as duas constantes e $k$ o expoente.

$F(x) = alphax^k + C => F'(x) = alphakx^(k-1)$

Desde $F'(x) = f(x)$ , nos podemos concluir que

$alphakx^(k-1)=x^2=>{(k-1=2),(alphak=1) :}<=>{(k=3),(alpha=1/3) :}$

$:. int x^2"d"x = x^3/3+C$

Analogamente, se definirmos $f(x) = x^n$ para $n!=-1$ , Em seguida

$F(x) = int x^n "d"x = x^(n+1)/(n+1)+C$

$C$ é chamado a constante de integrações e simplesmente é uma constante aleatória. Não é um valor particular. Está lá apenas por uma questão de correção.

Fazendo a ponte entre integrais definidas e indefinidas

Nossa antiderivada anterior de $x^n$ assemelha-se a algo que obtivemos anteriormente ao falar sobre integrais definidas. Vemos que, se permitirmos $C$ ser $0$ , Em seguida

$F_((C=0))(tau) = tau^(n+1)/(n+1)$

Mas sabemos que isso também é igual a $int_0^tau x^n "d"x$ :

$F_((C=0))(tau) = int_0^tau x^n "d"x$

É aqui que a conexão entre integrais definidas e integrais indefinidas é visível, declarada formalmente abaixo:

If $F(x)$ é a antiderivada de uma função $f(x)$ e deixamos $C=0$ , Em seguida

$int_a^b f(x) "d"x = F(b)-F(a)$

Espero que essa resposta não seja muito intimidadora.