O que é uma integral?
Em matemática, falamos sobre dois tipos de integrais. Integrais definidas e integrais indefinidos.
Geralmente, uma integral atribui números a funções de maneira a descrever deslocamento, área, volume e até probabilidade.
Integrais Definidos
Este tipo de integral está relacionado a valores numéricos. É usado em matemática pura, matemática aplicada, estatística, ciências e muito mais. No entanto, o conceito muito básico de uma integral definida descreve áreas.
A integral definida de uma função #f# durante um intervalo #[a,b]# representa a área definida pela função e o eixo x do ponto #a# apontar #b#, Como pode ser visto abaixo.
O símbolo usado para representar esta área #S# e integral, respectivamente, é
#S=int_a^b f(x)"d"x#, Onde
#diamond f " is called the integrand"#
#diamond a and b " are the lower and upper bounds"#
#diamond x " is a dummy variable"#
Você pode estar se perguntando o que #"d"x# significa. Formalmente, isso não significa nada, mas indica a variável que você está diferenciando em relação ao nosso caso, ou a variável de integração.
Quando dizemos que a área definida pela função #f# com o eixo x, queremos dizer o área líquida. A área líquida não é igual à área absoluta.
Se o gráfico da função estiver acima do eixo x, é dito que a área líquida é positiva. Se estiver abaixo, a área líquida é negativa. Isso pode ser mais difícil de entender a princípio. Isso é visualizado abaixo:
Por exemplo, digamos que temos a tarefa de encontrar a área líquida abaixo da curva #f(x)=x^2# de #0# para #1#:
No nosso caso,
#S = int_0^1 x^2 "d"x#
Para não complicar esta resposta, aqui está um vídeo que a descreve com mais detalhes:
Como tal, ficou provado que #S=1/3#.
Podemos fazer um caso geral aqui; para cada #n!=-1#,
#int_0^tau x^n "d"x = tau^(n+1)/(n+1)#
Ao mesmo tempo, o vídeo descreve Somas de Riemann. Eles são usados para calcular integrais. Geralmente, a soma de Riemann de uma função #phi# is
#int_a^b phi(x)dx = lim_(n->oo) sum_(i=an)^(bn) phi(x_i)Deltax_i #
onde #Deltax_i = x_i-x_(i-1)# e #x_i#, como mencionado no vídeo acima, representa algumas "marcas" no eixo x. Uma solução possível é deixar #x_i=i"/"n#. em seguida #Deltax_i = 1"/"n#. Embora isso geralmente seja mais simples, pode não ser a maneira mais fácil ou rápida de calcular integrais.
Se lembrarmos do caso geral formado anteriormente, sobre a integral de #x^n# de #0# para #tau#; bem, isso é chamado de regra de poder. Existem muitas formas diferentes de fórmulas para integrais, que não abordarei nesta resposta. Esta é apenas uma ideia muito geral do que são integrais.
Integrais indefinidos
Eles são representados como integrais com limites. Deixei #I# ser a integral indefinida de uma função #f#.
#I=int f(x)"d"x#
Você pode pensar em integrais indefinidas como generalizações de definitivas.
Em vez de serem definidas por áreas, volumes ou outra coisa, integrais indefinidas se correlacionam com derivadas. A integral indefinida de uma função #f# também é chamado de antiderivativo e é frequentemente observado como #F(x)#.
O Teorema Fundamental do Cálculo preenche a lacuna entre uma função, sua derivada e sua integral indefinida. Basicamente, diz que #F# é definida como a função que, quando diferenciada, fornece #f#:
#F'(x) = f(x)#
Agora, digamos que queremos encontrar a antiderivada da função #f(x)=x^2#.
#F(x) = int f(x)"d"x=intx^2"d"x#
Usando nossa definição anterior, que função temos para diferenciar para obter #x^2#? A Regra de Potência para derivativos afirma que, se #f(x)=x^n#, Em seguida #f'(x) = nx^(n-1)#. Como tal, se assumirmos #F(x)# ser uma função algébrica do tipo
#F(x) = "constant"*x^"exponent"#, temos:
#F(x) = cx^k => F'(x) = ckx^(k-1)#
Exceto que isso não está completo. Lembre-se de que, ao diferenciar uma constante em relação a uma variável, ela praticamente desaparece, daí a verdadeira forma de #F(x)# is
#F(x) = "constant"_1*x^"exponent"+"constant"_2#
Deixei #alpha# e #C# sejam as duas constantes e #k# o expoente.
#F(x) = alphax^k + C => F'(x) = alphakx^(k-1)#
Desde #F'(x) = f(x)#, nos podemos concluir que
#alphakx^(k-1)=x^2=>{(k-1=2),(alphak=1) :}<=>{(k=3),(alpha=1/3) :}#
#:. int x^2"d"x = x^3/3+C#
Analogamente, se definirmos #f(x) = x^n# para #n!=-1#, Em seguida
#F(x) = int x^n "d"x = x^(n+1)/(n+1)+C#
#C# é chamado a constante de integrações e simplesmente é uma constante aleatória. Não é um valor particular. Está lá apenas por uma questão de correção.
Fazendo a ponte entre integrais definidas e indefinidas
Nossa antiderivada anterior de #x^n# assemelha-se a algo que obtivemos anteriormente ao falar sobre integrais definidas. Vemos que, se permitirmos #C# ser #0#, Em seguida
#F_((C=0))(tau) = tau^(n+1)/(n+1)#
Mas sabemos que isso também é igual a #int_0^tau x^n "d"x#:
#F_((C=0))(tau) = int_0^tau x^n "d"x#
É aqui que a conexão entre integrais definidas e integrais indefinidas é visível, declarada formalmente abaixo:
If #F(x)# é a antiderivada de uma função #f(x)# e deixamos #C=0#, Em seguida
#int_a^b f(x) "d"x = F(b)-F(a)#
Espero que essa resposta não seja muito intimidadora.