O que é uma representação de série de potência para #f (x) = ln (1 + x) # e qual é o raio de convergência?

Comece pela soma do Séries geométricas:

#sum_(n=0)^oo q^n = 1/(1-q)#

convergindo para #abs q < 1#.

Deixei # x = -q # Ter:

#sum_(n=0)^oo (-1)^nx^n = 1/(1+x)#

Dentro do intervalo de convergência #x in (-1,1)# podemos integrar a série termo a termo:

#int_0^x dt/(1+t) = sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^ndt#

e obter uma série com o mesmo raio de convergência #R=1#:

#ln(1+x) = sum_(n=0)^oo (-1)^nx^(n+1)/(n+1)#