O que é uma representação de série de potência para $f (x) = ln (1 + x)$ e qual é o raio de convergência?

$ln(1+x) = sum_(n=0)^oo (-1)^nx^(n+1)/(n+1)$

com raio de convergência $R=1$ .

Comece pela soma do Séries geométricas:

$sum_(n=0)^oo q^n = 1/(1-q)$

convergindo para $abs q < 1$ .

Deixei $x = -q$ Ter:

$sum_(n=0)^oo (-1)^nx^n = 1/(1+x)$

Dentro do intervalo de convergência $x in (-1,1)$ podemos integrar a série termo a termo:

$int_0^x dt/(1+t) = sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^ndt$

e obter uma série com o mesmo raio de convergência $R=1$ :

$ln(1+x) = sum_(n=0)^oo (-1)^nx^(n+1)/(n+1)$

O que é uma representação de série de potência para f (x) = ln (1 + x) f (x) = ln (1 + x) e qual é o raio de convergência?