Prove que o momento de inércia de um cone é $I = 3 / 10mr ^ 2$ em relação ao seu eixo continuando através do centro de massa? h = altura; raio da base = r

Veja a prova abaixo

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A massa do disco elementar é $dm=rho*pir^2dz$

A densidade do cone é

$rho=M/V=M/(1/3piR^2h)$

Portanto,

$dm=M/(1/3piR^2h)pir^2dz$

$dm=(3M)/(R^2h)r^2dz$

Mas

$R/r=h/z$

$r=Rz/h$

$dm=3M/(R^2h)*(R^2)/h^2*z^2dz=3M/h^3 z^2dz$

O momento de inércia do disco elementar sobre o $z-$ eixo é

$dI=1/2dmr^2$

$dI=1/2*3M/h^3z^2*z^2R^2/h^2dz$

$dI=3/2*MR^2/h^5z^4dz$

Integrando ambos os lados,

$I=3/2*MR^2/h^5int_0^hz^4dz$

$I=3/2*MR^2/h^5[z^5/5]_0^h$

$I=3/2*MR^2/h^5*h^5/5$

$=3/10MR^2$

Prove que o momento de inércia de um cone é I = 3 / 10mr ^ 2 I = 3 / 10mr ^ 2 em relação ao seu eixo continuando através do centro de massa? h = altura; raio da base = r