Prove que o momento de inércia de um cone é $I = \frac{3}{10} m r^{2}$ $I = 3 / 10mr ^ 2$ em relação ao seu eixo continuando através do centro de massa? h = altura; raio da base = r

Veja a prova abaixo

insira a fonte da imagem aqui

A massa do disco elementar é $d m = ρ \cdot π r^{2} d z$ $dm=rho*pir^2dz$

A densidade do cone é

$ρ = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{1}{3} π R^{2} h}$ $rho=M/V=M/(1/3piR^2h)$

Portanto,

$d m = \frac{M}{\frac{1}{3} π R^{2} h} π r^{2} d z$ $dm=M/(1/3piR^2h)pir^2dz$

$d m = \frac{3 M}{R^{2} h} r^{2} d z$ $dm=(3M)/(R^2h)r^2dz$

Mas

$\frac{R}{r} = \frac{h}{z}$ $R/r=h/z$

$r = R \frac{z}{h}$ $r=Rz/h$

$d m = 3 \frac{M}{R^{2} h} \cdot \frac{R^{2}}{h^{2}} \cdot z^{2} d z = 3 \frac{M}{h^{3}} z^{2} d z$ $dm=3M/(R^2h)*(R^2)/h^2*z^2dz=3M/h^3 z^2dz$

O momento de inércia do disco elementar sobre o $z -$ $z-$ eixo é

$d I = \frac{1}{2} d m r^{2}$ $dI=1/2dmr^2$

$d I = \frac{1}{2} \cdot 3 \frac{M}{h^{3}} z^{2} \cdot z^{2} \frac{R^{2}}{h^{2}} d z$ $dI=1/2*3M/h^3z^2*z^2R^2/h^2dz$

$d I = \frac{3}{2} \cdot M \frac{R^{2}}{h^{5}} z^{4} d z$ $dI=3/2*MR^2/h^5z^4dz$

Integrando ambos os lados,

$I = \frac{3}{2} \cdot M \frac{R^{2}}{h^{5}} \int_{0}^{h} z^{4} d z$ $I=3/2*MR^2/h^5int_0^hz^4dz$

$I = \frac{3}{2} \cdot M \frac{R^{2}}{h^{5}} {[\frac{z^{5}}{5}]}_{0}^{h}$ $I=3/2*MR^2/h^5[z^5/5]_0^h$

$I = \frac{3}{2} \cdot M \frac{R^{2}}{h^{5}} \cdot \frac{h^{5}}{5}$ $I=3/2*MR^2/h^5*h^5/5$

$= \frac{3}{10} M R^{2}$ $=3/10MR^2$

Prove que o momento de inércia de um cone é I=310mr2 I = 3 / 10mr ^ 2 em relação ao seu eixo continuando através do centro de massa? h = altura; raio da base = r