Qual é a sequência numérica mais famosa além de Fibonacci?

A série é bastante simples, mas o resultado é tudo menos isso.>

1 + 2 + 3 + 4 + 5....... = -1/12

Sim! E a prova também é bastante inteligente.

Para provar isto vamos olhar para mais duas séries a saber:
S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1.....
S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5.....

Okay então vamos resolver a primeira série.

Editar: Ok então eu procurei a prova desta série e há muitas soluções e a maioria está fora do escopo desta resposta (que será uma resposta em si neste tópico). Então I'vou assumir que o trabalho estelar feito pelos matemáticos ao longo dos anos é bastante espectacular e eles arranjaram formas de provar que S1 = 1/2
Como eu gosto de entender isto é que se continuarmos a seguir a série e por acaso pararmos numa posição par ficaríamos com um valor 0, e se pararmos numa posição ímpar o valor restante seria 1. Como estas duas decisões são igualmente prováveis, podemos dizer o valor esperado de S1, ou seja, E(S1) = 1/2*1 + 1/2*0 = 1/2. Então é assim que eu escolho entender a validade da resposta, há várias outras provas e interpretações. Se você quiser dar uma olhada nesta página
Summation of Grandi's series.
Okay enough with the digressing let me back at the proof.

Now to solve S2, but before solving it let us first add it to se, but in a very non-intuitive way (shift place addition)
S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5....
+ S2 = 1 - 2 + 3 - 4....
ou 2S2 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1.......

Bem o que você sabe, convenientemente S2 = S1/2 = 1/4

Agora vamos resolver para a série principal, Série S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.....
Mas primeiro vamos subtrair S2 desta série, So

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6....
- S2= -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6....

ou S - S2 = 4 + 8 + 12 + ....
ou S - S2 = 4(1 + 2 + 3 + ...)

quem acabamos de resolver esta questão. Se você olhar atentamente a série no RHS é a própria série que queremos computar.

S - S2 = 4S => S = -S2/3 => - 1/12 Daí provado.

Deixe que se afunde em.

Okay então eu só sei a prova e don'não tenho idéia de como justificar fisicamente este valor, mas é incrível se você pensar sobre isso que nós, ao adicionar quantidades cada vez mais positivas acabamos com um valor de fração negativo que matematicamente é válido.