Qual é a diferença entre uma solução numérica e uma analítica?

Para mim isto é muito mais fácil de entender com exemplos do que com definições.

Considerar esta função: [matemática]f(x)=x^{2} e imagine que quer saber o resultado de [matemática] f(x)dx. Então, de acordo com o seu curso de cálculo, para responder a isso você usa o teorema fundamental do cálculo e a resposta é:

[matemática]\i>int f(x)dx==dfrac{x^{3}}{3} [/math]

Agora imagine que a função é dez vezes mais complicada que esta e depois de horas tentando resolvê-la você descobre que cada técnica que você aprendeu no seu curso de cálculo é inútil (um exemplo de uma função como esta é [matemática]g(x)=e^{x^{2}}[/math])

Você sabe que há uma resposta porque cada função de contagem tem uma integral, então o que você faz?

Bem, é aí que as soluções numéricas vêm para usar.

Todos aqueles que fizeram um curso de cálculo adequado antes de aprenderem a resolver integrais, aprendem o que é uma integral. Como introdução, você vê a seguinte definição:

[matemática] {\a} {b}f(x)dx==lim _{n)to |infty }{frac {(b-a)}{n}sum _{k=1}^{n}f(a+k{\a}frac {(b-a)}{n}})}[/math]

Calcular este limite é às vezes quase impossível, mas e se você quiser apenas algum grau de precisão (por exemplo 10 dígitos), então você pode fazer quantas iterações desta fórmula até preencher bem com sua resposta (mesmo que não seja uma solução exata).

O primeiro procedimento na minha resposta é um exemplo de uma solução analítica e o segundo é um exemplo de uma solução numérica.