É correcto dizer: "Vou reverter para si assim que a gerência aprovar"?

A dificuldade com esta pergunta é a palavra "correcto". A língua inglesa não tem uma única autoridade sobre a correcção. Os dicionários de hoje em dia tendem a considerar-se descritivos em vez de prescritivos, dando orientações de uso em vez do julgamento final sobre o que está certo ou errado.

Por isso, especialmente com perguntas semânticas, não é possível apontar o momento em que um significado em particular se torna "correto". Muitos significados modernos amplamente aceitos de palavras já foram pensados como erros ou gírias sem instrução.

Isto me leva à palavra "reverter". O uso desta palavra para significar "responder" ou "voltar" (para alguém) é MUITO encontrado no mundo dos negócios, como parte do que é vagamente conhecido como 'management speak'. As frases seguintes são bastante típicas:

"Quando tiver mais clareza sobre isto, por favor reverta para mim."

"Eu reverto para si no final desta semana com alguma informação adicional."

"Qualquer pergunta, por favor reverta."

Não estou a dizer que aprovo este uso, nem que o ouça da minha boca, mas é comum. Alguns podem odiar este significado, mas é usado, e é usado por falantes nativos.

Então, como falante não nativo, você deve estar preparado para encontrá-lo; não é um erro, apenas... um pouco controverso.