Porque é que 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 e 6/7 partilham a mesma combinação de dígitos na parte de repetição da sua expansão decimal?

Bem, porque eles devem.

Os sétimos têm uma propriedade interessante: a sua representação decimal tem um bloco de repetição de seis dígitos. Porque é que isso é interessante? Porque seis é um a menos de sete, e não pode ser maior. Qualquer fração [matemática]\frac{m}{n}[/math], quando escrita como decimal, deve ter um bloco de repetição de no máximo [matemática]n-1[/math] dígitos. Para [matemática]n=7[/math], o bloco atinge seu tamanho máximo possível.

Por que um bloco não pode ser maior que os dígitos [matemática]n-1[/math]? Isso é fácil: porque existem números inteiros [matemática]n-1[/math] desde [matemática]1[/math] até [matemática]n-1[/math]. Quando você divide [matemática]m.00000\ldots[/math] por [matemática]n[/math], o restante é qualquer número inteiro de [matemática]0[/math] a [matemática]n-1[/math]. Quando o restante é zero, o processo de divisão termina, enquanto que se estiver entre [matemática]1[/math] e [matemática]n-1[/math], o processo de divisão continua. E há apenas números [matemática]n-1[/math] de [matemática]1[/math] a [matemática]n-1[/math], então o tamanho do bloco mais longo deve ser [matemática]n-1[/math], o caso em que a divisão cicla através de todos os possíveis restos não zero [matemática]n-1[/math].

Desde que todos os dígitos após o ponto decimal sejam zeros, estes seis possíveis restos para os sétimos gerarão o mesmo bloco de seis dígitos, mas em um ciclo diferente. Para [matemática]1/7[/math], obtemos [matemática]142857[/math]. Para [matemática]2/7[/math], partimos do segundo maior número deste ciclo, [matemática]2[/math], lemos os dígitos a partir daí, e voltamos ao início: [matemática]285714[/matéria]. Para [matemática]3/7[/math], começamos a partir do terceiro maior número, [matemática]4[/math]: [matemática]: [matemática]428571[/math]. Para [matemática]4/7[/math], partimos do quarto maior número, [matemática]5[/math]: [matemática]571428[/math]: [matemática]. E assim por diante: [matemática]5/7[/math] tem o bloco [matemática]714285[/math], e [matemática]6/7[/math] tem o bloco [matemática]857142[/math].

Outra maneira de entender isso é notar que [matemática]142857\ vezes 7 = 999999[/math]. Daí [matemática]1000000/7 = 142857 + 1/7[/math]. Dividindo ambos os lados por [matemática]1000000[/math],

[matemática]1/7 = 0,142857 + \frac1{1000000}(1/7)[/math]

[matemática]= 0,142857 + (0,000000142857 +\frac1{1000000^2}(1/7))[/math]

[matemática]=0.142857 + (0,000000142857 + (0,000000000000142857 + \frac1{1000000^3}(1/7)))[/math]

[math]=0,142857142857142857\ldots.[/math]

Para [matemática]2/7[/math], [matemática]3/7[/math] etc, tudo o que fazemos é reiniciar a partir de [matemática]142857\ vezes 7=999999[/math] e multiplicar ambos os lados por [matemática]2[/math] (ou por [matemática]3[/math], etc.), para obter [matemática]285714\ vezes 7 = 1999998[/math], então [matemática]2000000/7 = 285714 + 2/7[/math], e assim por diante.