Como fazer um serviço de fundo Android que continuará rodando depois de fechar o aplicativo

A menos que você queira dizer force-close, todo aplicativo Android roda o tempo todo. Eles não podem fazer nenhum IO de tela a menos que sejam os aplicativos mais importantes (porque algum outro aplicativo está usando esses recursos), mas os aplicativos continuam rodando de qualquer forma. É que a maioria dos aplicativos estão esperando por entrada, e assim não consomem recursos da CPU, e você não percebe.

Mas se você escrever um aplicativo que (digamos) usa um timer para iniciar ações, então ele responderá aos eventos do timer mesmo se você estiver executando algum aplicativo completamente diferente. A mesma coisa com a resposta a eventos TCP/IP. Na verdade tudo, exceto a tela IO.

Isto é muito diferente de como o iOS funciona. A menos que você deliberadamente escreva aplicativos iOS como um serviço, os aplicativos inativos são totalmente parados. Há uma facilidade para "acordá-los" e rodar em segundo plano por até 15 segundos através do serviço de notificação da Apple. No Android, o aplicativo está sempre rodando e pode receber as notificações diretamente.

Então a resposta provavelmente não é nada. Experimente e veja. O seu aplicativo quase de certeza que vai ficar bem em segundo plano.