O que é uma boa explicação para a equação de Dirac?

Dirac estrelou na equação da energia relativista.

[matemática]^2 = p^2c^2 + m^2 c^4[/math]

E ele perguntou se eu posso pegar a raiz quadrada da equação? Posso encontrar uma equação que seja a primeira ordem no tempo, como a equação do Schrodinger&apos não relativista?

p>a matemática, [matemática]i bar[(parte) t] = {H}[/math]

p>P>P>Posso encontrar uma equação [matemática]{H, [/math]tal que se eu a colocar em quadratura eu obtenho a primeira equação acima?

Ponha que nós gostamos de Dirac adivinhou

p>[matemática]{H}hat{H} = {\an8}vec{\an8}cdot {\an8}vec{p} \c+beta m c^2[/math]>p> Wherep>p>[math]vec{\i} {\i}cdot {\i}vec{\i},c =sum_{i} \p_i c[/math]p>Let's square itp>p>[math]^2 = (vec{\i}{\i}cdot {p} c + {\i}beta m c^2)^2[/math]p>p>[math]^2 = ^sum_{i}neq j,j} ({\i} p_i p_j c^2 + ^sum_{i} \alpha_i^2 p_i^2 c^2 + ^sum_{i} (\a_i \a_i \a_i) p_i m c^3 + \a^2 m^2c^4[/math]p>p>Agora o gênio de Dirac olhou para o acima e disse que eu sei o que [matemática]H^2[/math] deveria ser e portanto estas [matemática]s e [matemática] devem ser matrizes e não números e eu sei que devem ser matrizes porque a equação acima me diz que estes coeficientes são anticomércio. Se fossem números, a equação acima só funcionaria para [matemática]|alfa_i = \beta = 0[/math]. Então, suponha que sejam matrizes. Então precisamos de 4 matrizes [matemática] [matemática] [alfa_x , alfa_y, alfa_z, beta [/math]. Também preciso que o quadrado das matrizes seja identidade, para que eu possa recuperar a relação energética relativista.

Deixe-nos pensar em [matemática]^2 =1[/math]

Suponha [matemática]x [/math] é um vetor próprio de [matemática]^2 [matemática] com valor próprio [matemática]lambda[/math]

[matemática]^2 =1 ^implica (\alfa-_i^2 -1)x = 0 [/math]

[math](\lambda^2 -1)x =0[/math]

O quadrado da matriz que produz identidade nos diz que os valores próprios da matriz são 1 e -1.

Hey isso significa que as matrizes que estamos a considerar são hermitianas. Matemática]|alfa_i^\dagger =\alfa_i[/math]

Anticommutation diz-nos algo mais

[matemática]\alfa_i \alfa_j = -\alfa_j \alfa_i[/math]

Let's hit both sides on the left by [math]|alpha_i^_dagger[/math]

[math]|alpha_i^\i ^\alpha_i ^_alpha_j = -\alpha_i^\dagger\alpha_j ^alpha_i[/math]

[math]^2 ^alpha_j = -\Alpha_i^_i^dagger\\alpha_j \alpha_i[/math]

p>[matemática]\alpha_j = -\alpha_i^\dagger\alpha_j ^\alpha_i[/math]

p> O traço em invariante sob qualquer transformação de similaridade.

Se tomarmos o traço da esquerda e da direita eles devem ser iguais mas obtemos que o traço é igual ao negativo de si mesmo o que significa que o traço é zero.

Então, agora deixemos's pensar... precisamos de 4 matrizes... quando os quadramos eles dão identidade e eles anticomutam.... E elas precisam de ser sem vestígios. Cheiram como se devessem ser matrizes de pauli! Só que nós temos 3 matrizes pauli, mas e a identidade? Bem, então a identidade não é sem vestígios. A exigência que nós'descobrimos nos diz que precisamos no mínimo de 4 (quatro) matrizes [matemática]4 (quatro) vezes [matemática]. ([matemática]3 vezes 3[/math] não vai cortá-la com valores próprios sendo [matemática]1[/math] nós nos depararíamos com a questão de ter [matemática]3[/math] matrizes com [matemática]1[/math] traço). Portanto, [matemática]4 vezes 4[/math] é a menor dimensão para a qual podemos construir uma solução. Inteligentemente, podemos construir tais matrizes que têm blocos das matrizes pauli.

Assim, motivamos a equação dirac.

[matemática]{H} = {H} = {Vec{\i} {\i}cdot {\i}vec{p} \c + mc^2[/math]