A raiz quadrada de qualquer número é sempre positiva?

Apresentarei isto como se todos concordassem, o que não é realmente verdade.

Todos os números, reais ou complexos, têm duas raízes quadradas que são negações um do outro. A excepção é zero, que é a sua própria negação.

O domínio da raiz quadrada pode ser os números reais ou os números complexos, e as convenções são ligeiramente diferentes. Vamos focar primeiro na raiz quadrada dos números reais.

O sinal radical [matemática]\sqrt{x}[/math] quando aplicado a um número real denota a raiz quadrada principal ou positiva. Se a [matemática]x^g 0[/math] então a [matemática]^sqrt{x} \ge 0.[/math] Então para responder à pergunta com qualificações, a raiz quadrada principal de um número positivo é sempre positiva, por definição.

A raiz quadrada principal de um real negativo é um tempo real positivo [matemática]i.[/math] Mesmo que os números complexos não sejam ordenados, há uma ordenação importante no eixo imaginário análoga à do eixo real.

Quando falamos de "a raiz quadrada", estamos geralmente nos referindo à raiz quadrada principal. Quando falamos de "uma raiz quadrada", queremos dizer também. Nesta questão o OP não fornece um artigo, então não há ajuda aqui.

Quando estamos lidando com raízes quadradas de números reais, é muito importante que entendamos

[matemática]\sqrt{x} \Um {x}[/math]

p> Quando o domínio é real, [matemática]{x}[/math] é uma função desde números reais até complexos. Ela assume um único valor único para cada real [matemática]x.[/math] É sempre ou 0, um número real positivo, ou um número real positivo vezes [matemática]i.[/math] É uma das duas raízes quadradas que foi definida como sendo a raiz quadrada principal.

Valores principais sem valores principais são explicitamente solicitados, a raiz quadrada de um número complexo [matemática]\sqrt{z}[/math] deve ser tratada como uma expressão multivalorizada. Então aqui eu diria [matemática]\sqrt{z}==pm \sqrt{z}.[/math]

Quando queremos explicitamente a expressão multivalorizada, a expressão refere-se a ambas as raízes quadradas, seja [matemática]w[/math] tal que [matemática]w^2=z.[/math] Eu prefiro [matemática] {z]. [/math] Mas [matemática]{ /math] pode ficar confuso e ambíguo, então pode ir para qualquer direção.

Mais controverso, eu trato o número natural recíproco como um expoente, [matemática]z^{\frac 1 2},[/math] como a expressão multivalorizada referente a todas as raízes, não a uma função.

Exatamente o que a igualdade de expressões multivalorizadas significa é geralmente disfarçada, especialmente o problema chato que [matemática]1^{\frac 1 2} ^ne 1^{\frac 2 4}.[/math] Talvez.