O que significa quando alguém usa vários períodos (...) em vez de um período (...) para terminar uma frase?

Ending a sentence with a single period indicates that the sentence is a complete thought with a definite end. Terminar com uma elipse (o nome técnico dos 'três períodos') significa que o pensamento não termina, mas que o leitor deve entender que é responsabilidade do leitor considerar como o pensamento da frase continua ou está relacionado com a opinião do leitor.

Se ele tivesse apenas uma espingarda...

Cabe então ao leitor imaginar onde essa frase leva.

Você também usa a elipse para indicar que algumas palavras são deixadas de fora de uma citação. Por exemplo, se você vai citar PARTE de uma frase, então você usa elipses (plural de elipse) para indicar que algumas partes estão faltando, e você está fornecendo uma citação parcial:

Quando Longfellow afirma '...dificilmente um homem está vivo agora que se lembra...', o que isso diz ao leitor sobre o prazo do poema como um todo?

A frase é bastante conhecida. É de Paul Revere's Ride. Nesta situação - a pergunta específica 'quando foi o tempo escrito comparado com o evento?', as partes ao redor do poema não importam. É esta única FASE que transmite a informação e apenas essa frase é necessária. Não é uma frase completa ou um verso completo e tem uma elipse tanto antes como depois, mostrando que está incompleta (em ambas as direcções).