É melhor dominar uma única língua ou conhecer as noções básicas de várias?

Você deve editar essas tags para esclarecer a que tipo de línguas você está se referindo - linguística e aprender a programar são assuntos bastante distintos.

No caso de línguas faladas, depende do que você quer fazer com elas: se você quer ser capaz de passar em muitos países, então saber o básico de muitas línguas pode ser mais útil do que falar uma língua estrangeira fluentemente, mas isso não será útil se você quiser ser um tradutor e não tiver chegado perto da fluência em nenhuma delas.

No caso da programação, você precisa chegar a um nível especializado com pelo menos uma linguagem de programação se você vai trabalhar com ela profissionalmente, embora isso não signifique necessariamente que você precisa conhecer todos os detalhes da linguagem: a maioria das coisas podem ser feitas com um subconjunto da linguagem enquanto qualquer coisa extra que você possa precisar ocasionalmente pode ser pesquisada conforme necessário. Se você está apenas se dedicando à programação como um hobby e precisa ser capaz de pegar idéias do código de exemplo de outras pessoas que podem ser escritas em uma ampla gama de linguagens de programação, pode ser benéfico conhecer o básico de muitas linguagens.

Então, de qualquer forma, depende do que você está planejando usar para.