Qual é a antiderivada de #arcsin (x) #?

Usaremos várias técnicas para avaliar a integral fornecida.

Primeiro, usamos substituição :

Deixei #t = arcsin(x) => sin(t) = x#
Então #dx = cos(t)dt#

Fazendo a substituição, temos

#int arcsin(x)dx = int tcos(t)dt#

#color(white)#

Em seguida, usamos Integração por partes:

Deixei #u = t# e #dv = cos(t)dt#
Então #du = dt# e #v = sin(t)#

Aplicando o Integração por partes Fórmula #intudv = uv - intvdu#

#inttcos(t)dt = tsin(t) - intsin(t)dt#

#=tsin(t) - (-cos(t)) + C#

#=tsin(t)+cos(t)+C#

Por fim, substituímos #x# de volta. Para ver por que #cos(t) = sqrt(1-x^2)# tente desenhar um triângulo retângulo no qual #sin(t) = x#.

#intarcsin(x)dx = xarcsin(x)+sqrt(1-x^2)+C#