Qual é a antiderivada de $arcsin (x)$ ?

$intarcsin(x)dx = xarcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C$

Usaremos várias técnicas para avaliar a integral fornecida.

Primeiro, usamos substituição :

Deixei $t = arcsin(x) => sin(t) = x$
Então $dx = cos(t)dt$

Fazendo a substituição, temos

$int arcsin(x)dx = int tcos(t)dt$

$color(white)$

Deixei $u = t$ e $dv = cos(t)dt$
Então $du = dt$ e $v = sin(t)$

Aplicando o Integração por partes Fórmula $intudv = uv - intvdu$

$inttcos(t)dt = tsin(t) - intsin(t)dt$

$=tsin(t) - (-cos(t)) + C$

$=tsin(t)+cos(t)+C$

Por fim, substituímos $x$ de volta. Para ver por que $cos(t) = sqrt(1-x^2)$ tente desenhar um triângulo retângulo no qual $sin(t) = x$ .

$intarcsin(x)dx = xarcsin(x)+sqrt(1-x^2)+C$

Qual é a antiderivada de arcsin (x) arcsin (x) ?