Qual é a derivada de #f (x) = tan ^ -1 (x) #?

Eu me lembro do meu professor esquecendo como derivar isso. Isto é o que eu mostrei a ele:

#y = arctanx#

#tany = x#

#sec^2y (dy)/(dx) = 1#

#(dy)/(dx) = 1/(sec^2y)#

Desde #tany = x/1# e #sqrt(1^2 + x^2) = sqrt(1+x^2)#, #sec^2y = (sqrt(1+x^2)/1)^2 = 1+x^2#

#=> color(blue)((dy)/(dx) = 1/(1+x^2))#

Eu acho que ele originalmente pretendia fazer isso:

#(dy)/(dx) = 1/(sec^2y)#

#sec^2y = 1+tan^2y#

#tan^2y = x -> sec^2y = 1+x^2#

#=> (dy)/(dx) = 1/(1+x^2)#